Hrací kostka, její historie a využití ve výuce

16. 11. 2020 Jan Fiala

„Hra je jeden z nejefektivnějších způsobů, jak zjednodušit život. Přesně to jsme dělali jako děti, ale v dospělosti jsme si hrát zapomněli.“ Albert Einstein (1879–1955)

 

Hrací kostka[1] provází člověka už více než 4000 let. Během staletí si kostky díky své geniální geometrické struktuře našly široké uplatnění ve společenském životě lidí i ve školním prostředí.

Cílem příspěvku je shrnout podstatné informace o historii hrací kostky a připomenout souvislosti jejího využití při vzdělávání žáků. Článek zahrnuje vlastní zkušenosti s využitím hrací kostky při výuce, a může tak být inspirací pro učitele i žáky na všech stupních vzdělávání, kteří by chtěli toto téma dále využít při tematické či projektové výuce.

Není nám známa žádná ucelená publikace, která by se komplexně zabývala tématem hrací kostky či hrou v kostky. Pro účely historického exkurzu proto čerpáme z četných sekundárních zdrojů, zvláště z internetových stránek. Dílčí informace jsme získali např. také z diplomových prací, které se však tématem hrací kostky zabývaly pouze částečně či nepřímo.

 

Hrací kostky v historii i současnosti

 

Hrací kostka provází člověka prakticky od počátků, snad od doby kamenné. Kostky se užívaly podle dostupných informací především ke dvěma účelům: jako rituální předměty a k zábavě při deskových hrách.

V prvním případě se výsledky hodu kostkou přisuzovaly vlivu uctívaných božstev. Např. etruské hrací kostky, jejichž nález dopomohl k rozluštění písma Etrusků, měly znázorněnými čísly zprostředkovávat vůli božstev, což potvrzuje jejich časté využívání při chrámových náboženských obřadech (Der Würfel). Kostky také často rozhodovaly, kdo bude vládcem, jak se rozdělí majetek apod. (Pickover, 2012, s. 30).

Hrací kostky byly odpradávna využívány při různých stolních hrách, k nimž patřila především hra v kostky, později vrhcáby a mnoho dalších, jako spravedlivé generátory náhodných čísel. Falešné kostky ovšem nebyly v historii vůbec výjimkou.

Kostky se rovněž používaly jako symboly vzájemné úcty a pohostinnosti lidí: kostka se rozdělila v polovině a každý dostal jednu polovinu (Der Würfel).

Dodnes kostky najdeme v různých oblastech života člověka, nejčastěji při hrách v kasinech a hernách po celém světě.[2] Děti se s hrací kostkou setkávají již ve velmi útlém věku, např. při hraní společenských her, jako je Člověče, nezlob se!

V současné době jsou jako generátory náhodných čísel používány počítače a počítačové programy. Kvalitně napsaný program ke generování náhodných čísel by měl např. každé ze šesti čísel[3] produkovat zhruba stejněkrát, neboť každý z výsledků je stejně pravděpodobný. Generování náhodných čísel také slouží k simulacím různých přírodních jevů či ke vzorkování dat. Od 40. let 20. století se začala statisticky generovat náhodná čísla např. pro simulaci termojaderných explozí, jak uvádí Pickover (2012, s. 30). Týž autor (s. 378) dále připomíná využití náhodných čísel k přesměrování toku dat tak, aby nedošlo k zahlcení sítí. Své užití našla náhodná čísla také při náhodném výběru názorově vyvážených vzorků společnosti pro provedení validních průzkumů. Prvotní impulsy poskytla hra v kostky také teorii her, jejíž uplatnění se stále rozšiřuje snad do všech vědních oborů a poskytuje návody a strategie na řešení konfliktních situací, pomáhá nám tedy nacházet správná rozhodnutí.

Kostky se „proslavily“ v metafoře o roli nahodilosti v našem životě, kterou ukryl do svého známého výroku astrofyzik Stephen Hawking (1942–2018): „Nejenže Bůh zcela jistě hraje v kostky, ale dokonce nás často mate tím, že své kostky hodí někam, kde je ani on sám nedokáže pozorovat.“ Reagoval tak na Einsteinovo odmítnutí vlivu náhody na fyzikální procesy a jevy.

 

Několik poznámek z historie

 

První zmínky o hrací kostce nebo předmětech jí podobných nalézáme u starých Sumerů (asi 4000 let př. n. l.) (Spielwürfel). Dnes známé hrací kostce zřejmě předcházel tzv. astragal, což byl kostěný předmět určený ke hrám, u něhož se pravděpodobnost výsledku každého z možných hodů výrazně lišila. Stejně jako astragal byla i hrací kostka vyrobena většinou z ovčí hlezenní kosti a měla zpočátku jen čtyři rovné či prohnuté stěny, další dvě byly zaoblené. Jejich pozdějším seříznutím vznikla hrací kostka v dnešním tvaru – v podobě malé krychle.

Zřejmě nejstarší nalezená kostka je z doby asi 2800–2500 let př. n. l. a pochází z města Burnt City v jihovýchodním Íránu (Spielwürfel). Pickover (2012, s. 30) dokonce datuje nejstarší kostky i tamtéž nalezené sady vrhcábů do doby až 5000 př. n. l. Zhruba stejně stará je zřejmě také kostka nalezená v hrobce harappské kultury[4] v povodí řeky Indus v dnešním Pákistánu (Hrací kostka). Poslední jmenované kostky byly již šestistěnné a byly opatřeny tzv. oky, puntíky, které vyjadřují počet. Hojně byly hrací kostky nalezeny také při vykopávkách v legendárních Pompejích. Kostky odtud byly ovšem falešné[5] (Hrací kostka).

Obrázek 1. Achilles a Ajax hrají v kostky. Časté téma malířské výzdoby antické keramiky. Zdroj: https://www.akg-images.de/archive/Achill-und-Ajax-beim-Brettspiel-2UMDHUHWQYSQ.html.

V době antiky patřila hra v kostky k velmi oblíbeným. Dokládá to např. známé vyobrazení Achilla a Ajaxe při hře v kostky (obr. 1). Řada tehdejších myslitelů si lámala hlavu tím, kdo vlastně kostku vynalezl. Např. Platón (427–347 př. n. l.) se domníval, že kostku vymyslel egyptský bůh Thoth (Der Würfel). Zřejmě první antický historik Herodotos (narozen asi 484 př. n. l., zemřel mezi lety 430 a 420 př. n. l.) zase připisoval objev kostky obyvatelům Lýdie v Malé Asii. Konečně řecký spisovatel, cestovatel a zeměpisec Pausaniás (žijící ve 2. stol. n. l.) považoval za objevitele hrací kostky řeckého hrdinu a vynálezce Palaméda. Pausaniás povýšil hru v kostky na zábavnou hru pro mladé, neboť jedné ze tří Grácií, bohyň mládí a krásy, dal do ruky hrací kostku (Kaplan & Kaplanová, 2008, s. 24). Staří Řekové užívali pro hru v kostky výraz alea. Řecké označení kostky (a současně každé její stěny) zní kybos, z toho bylo odvozeno latinské slovo kubus. O možnosti uspořádat puntíky na stěnách kostky tak, že součet ok na protilehlých stěnách kostky je vždy sedm, informoval již Eusthatius (žijící ve 4. stol. n. l.), pozdně antický biskup působící v Arménii (Der Würfel).

 

Velkou oblibu získaly hrací kostky v době římské. Římané používali dva druhy kostek: velké se čtyřmi stěnami, tzv. tali, a malé se šesti stěnami, tzv. tesserae, na jejichž stěnách byla oka rozmístěna většinou ještě náhodně. Obliba kostek pronikla dokonce až k římskému císaři Augustovi, který prý holdoval hazardním hrám. Císař Claudius (10 př. n. l. – 54 n. l.) údajně napsal knihu o strategii házení s kostkami. Nechvalně známý Caligula prý zase při kostkách podváděl. (Kaplan & Kaplanová, 2008, s. 24). Za císaře Commona (161–192) snad vzniklo v Římě první kasino. V této době vstoupil do dějin také slavný výrok přisuzovaný císaři Juliu Caesarovi (100–44 př. n. l.) „Kostky jsou vrženy“, který údajně vyřkl po přechodu řeky Rubikon, čímž porušil nedotknutelnost hranice mezi Galií a Itálií.

Obrázek 2. Egyptská hrací kostka ve tvaru pravidelného dvacetistěnu, 2.–4. stol. př. n. l., Metropolitní muzeum umění, New York. Zdroj: https://www.metmuseum.org/art/collection/search/100008377.

Časté jsou archeologické nálezy hracích kostek v místech táboření římské armády (Kaplan & Kaplanová, 2008, s. 24). Kromě dnes běžné šestistěnné kostky používali Řekové i Římané také hrací kostky s více stěnami: archeologové nalezli kostky s 12, 18, 20 a 24 stěnami (Hrací kostka).

Hrací kostky se používaly také ve starověkém Egyptě: jako pomůcka při věštění nebo jako druh zábavy. Někteří faraónové měli např. šestistěnné hrací kostky ze slonoviny jako součást své výbavy pro pouť do posmrtného života (Kaplan & Kaplanová, 2008, s. 23). Již 2000 let př. n. l. se tam používaly dokonce dvacetistěnné kostky (obr. 2), jedna z těchto nalezených kostek má tmavě modrou barvu. Jednotlivé stěny byly často místo čísel označeny hieroglyfy či obrázky. Pokud se na stěnách kostky objevila čísla, stála jednička na stěně naproti dvojce, trojka naproti čtyřce a pětka naproti šestce.[6]

Římané si také lámali hlavu tím, jak spravedlivě házet kostkou. Vytvořili si dřevěnou losovací věž zvanou turricula, kterou vystavuje Egyptské muzeum v Káhiře. Podobnou losovací věž měli také Germáni, byla ale bronzová (obr. 3) (Der Würfel).

Kostky se podle Čechury (2008, s. 35) míchaly také v podlouhlé uvnitř rýhované nádobě (pyrgus).

 

 

 

 

 

 

Obrázek 3. Bronzová losovací věž zvaná turricula, Rýnské zemské muzeum, Bonn. Zdroj: Der Würfel.

 

Ani Čína či Japonsko nestojí ovšem v této době v užívání hracích kostek stranou: z hry v kostky se zde vyvinula hra mino a dnes známé hrací karty. Postupně se oblíbenou stala také japonská hra sugoroku, která se hraje se dvěma krychlovými hracími kostkami (Der Würfel).

Obrázek 4. Dřevěná středověká kostka nalezená u norského města Bergen. Zdroj: https://www.wissenschaft.de/geschichte-archaeologie/mittelalterlicher-schummel-wuerfel-entdeckt/.

Ve středověké Evropě získaly kostky nejdříve oblibu mezi klérem a šlechtou, později se hojně rozšířily i mezi prostý lid. Šlechta ovšem hru v kostky prostému lidu pokrytecky zakazovala. Klér zase označoval hru v kostky za něco nemravného. Dokladem obliby hry v kostky u šlechty je i historický počin Alfonse X. Moudrého (1221–1284), krále Kastilie a Leónu, který v roce 1283 na 98 stranách své Knihy o hrách mimo jiné detailně popsal hru v kostky (Čechura 2006, s. 24). Nálezů středověkých hracích kostek je mnoho. Například více než 30 kostek bylo nalezeno při vykopávkách v norském Bergenu, kde se v 15. století rozkládala čtvrť s několika hostinci. Jedna z těchto kostek je falešná[7], jak je vidět na obrázku 4 (Vieweg, 2018).

Hraní různých her je archeologicky i písemně[8] doloženo i na dnešním českém území. Četné nálezy hracích kostek různých podob u Keltů i Slovanů dokládají vysokou oblibu těchto her kolem 5.–6. století, jak potvrzuje nález dvou kostěných hracích kamenů z naleziště u Hoštic. Za zřejmě nejstarší kostku nalezenou na území Čech a Moravy označuje Čechura (2008, s. 70) kostku v lokalitě Znojmo-Hrad, která byla datována do 11.–13. století. V Opavě se nedávno našla údajná dílna „kostkáře“ (Čechura, 2008, s. 6). Klasické hrací kostky se u nás objevily teprve v 12.–13. století. Například kostka nalezená na hradě Landštejn má stěny výrazně prohnuté dovnitř. O kostkách se zmiňují zápisy z městských kronik, častá jsou také vyobrazení hry v kostky např. na středověkých kachlích. Bojovat s hazardními hrami se pokusil i císař a král Karel IV. (1316–1378), který se je snažil zakázat nebo aspoň omezit, ovšem bez většího úspěchu. Hra vrhcáby dosáhla podle Čechury (2006, s. 29) své největší obliby na českém území v 15.–16. století.

Jako materiál se na výrobu kostek i u nás nejčastěji využívaly kosti různých zvířat (např. ovcí či koz), slonovina a dřevo. Pro chudší obyvatelstvo se ale kostky vyráběly z pálené hlíny, olova, bronzu nebo keramiky. V kostele sv. Linharta v Mušově archeologové objevili dokonce železnou hrací kostku (Čechura, 2008, s. 72). Později se objevily i hrací kostky ze skla, křemene, pískovce, mramoru a jiných kamenů, krystalů, jantaru či dokonce zlata. Dnes převažuje při výrobě hracích kostek plast či dřevo (Čechura, 2006, s. 43–45).

Hrací kostka ve výuce

Hrací kostka z pohledu matematiky

 

Pomineme-li prvotní čtyřstěnnou nepravidelnou podobu kostky, hrací kostka vypadá dodnes stále stejně: podobá se geometricky pravidelnému šestistěnu, tj. krychli. To je jedno z tzv. platónských těles.[9] Každá stěna dnešní podoby kostky je označena většinou číslicí nebo tzv. oky (puntíky), které vyjadřují počet.[10] Oka jsou po stěnách kostky rozložena tak, že součet počtů puntíků na každých dvou protilehlých stěnách kostky je roven sedmi.[11]

Kasina používají speciální hrací kostky, u kterých je zaručena stejná pravděpodobnost pro každý z šesti možných výsledků. Kostky jsou vyrobeny z homogenního materiálu, jsou vyvážené, bez mechanického poškození, bez problémů se kutálí po rovné podložce apod. Běžná hrací kostka má ovšem hrany seříznuté (zaoblené) a na stěnách má vyznačené (vyražené) tečky, což porušuje její ideální vlastnosti a pravděpodobnosti výsledků se pak mohou mírně lišit. Způsob házení s kostkou by měl být ustálený a neměl by mít vliv na polohu kostky po dopadu. Regulérní házení kostkami zajistí kelímek či pohárek s uzávěrem nebo i bez něj.

Od hracích kostek k teorii pravděpodobnosti

Snad prvním myslitelem, který uvažoval nad fenoménem náhodnosti z matematického pohledu, byl podle Mareše (2011, s. 115, 183) italský matematik, filozof a astronom a vášnivý hráč v kostky Girolamo Cardano (1501–1576). Za první matematické uchopení pojmu pravděpodobnost vděčíme korespondenci dvou matematiků žijících ve Francii 17. století, kterými byli Blaise Pascal (1623–1662) a Pierre de Fermat (1601–1665). První jmenovaný byl požádán o vyřešení problému, který trápil francouzského šlechtice a hazardního hráče rytíře de Méré[12] (1607–1684) a při kterém hrály hlavní roli právě hrací kostky. Zásadní přínos do teorie pravděpodobnosti zajistil opět francouzský matematik, fyzik, astronom a politik, jeden z největších mozků vědy vůbec, Pierre Simon de Laplace (1749–1827), který shrnul dosavadní poznatky z pravděpodobnosti, rozvinul je a především aplikoval na řadu problémů z různých oblastí tehdejšího poznání (Pickover, 2012, s. 212). Axiomatizaci pravděpodobnosti, tedy – řekněme pouze volně – jakési matematické ukotvení teorie pravděpodobnosti jako matematické disciplíny, dokončil v roce 1933 ruský matematik Andrej Nikolajevič Kolmogorov (1903–1987) (Mareš, 2011, s. 249–250). O základech pravděpodobnosti se učí žáci ZŠ a SŠ, podrobně se teorií pravděpodobnosti zabývají až studenti na VŠ.

Hrací kostka jako výuková pomůcka a její speciální podoby

Obrázek 5. Běžná hrací kostka vhodná jako pomůcka do výuky matematiky. Zdroj: https://www.tercio.cz/velka-drevena-hraci-kostka-2-cm-14159-1.html.

Hrací kostky (obr. 5) jsou nezastupitelné didaktické pomůcky při výuce pravděpodobnosti na školách. Ve výuce se žáci někdy již na prvním stupni ZŠ seznamují se základními matematickými zákonitostmi náhody, a to v ideálním případě formou hry či při praktických činnostech. Žáci se učí řešit především úlohy na výpočet hodnoty pravděpodobnosti, rozlišují mezi spravedlivými (férovými) a nespravedlivými (neférovými) hrami, ale také se učí rozhodovat v nejistých situacích na základě informací plynoucích z analýzy statistických dat. Nahradit náhodný proces házení s jednou nebo s více kostkami počítačovým generátorem čísel podle našeho názoru ochudí žáky o podněty k vlastnímu učení.

 

 

 

Hrací kostkou se většinou rozumí pravidelný šestistěn, tedy krychle. V širším slova smyslu se ovšem pod spojením hrací kostka rozumí jakýkoliv předmět, který se po provedení hodu ustálí na vodorovné podložce v klidové pozici na jedné ze svých rovných, navzájem rozlišitelných stěn, což poslouží k náhodnému výběru některého ze symbolů (většinou čísel), který je výsledkem hodu. Pro náhodné generování čísel tak kromě kostky poslouží také předměty, jejichž matematickými modely jsou ostatní pravidelné mnohostěny, dále např. tzv. katalánská nebo archimedovská tělesa. Jako kostky se dají použít také různé hranoly nebo např. tzv. krystalové kostky apod.

 

Ve výuce se při náhodných pokusech kromě klasických hracích kostek používají také tzv. Efronovy kostky, které mají speciálně označené stěny tečkami nebo jsou bez označení. Tyto kostky vytvořil statistik Bradley Efron (nar. 1938) z univerzity ve Stanfordu. Jde o příklad tzv. netranzitivních kostek, pro které platí tzv. dominance kostky, tj. jedna kostka dominuje druhé, jestliže na první kostce padne s pravděpodobností větší než  číslo větší než na druhé kostce. Spravedlivá hra vyžaduje tranzitivní kostky. Příkladem spravedlivé hry je hra passedix, hra o překročení desítky při hodu třemi hracími kostkami. Pro ne-Laplaceovy pokusy vytvořil Wolfgang Riemer do výuky tzv. Riemerovy kostky, resp. kvádry (Riemer, 1988). Ty mají různý, nepravidelný, často i nekonvexní tvar, každá ze stěn je různě označena a má také různou pravděpodobnost, že bude výsledkem hodu (obr. 6).

Při opakovaných náhodných pokusech se ve výuce pravděpodobnosti používá také tzv. dvojitá kostka nebo další druhy hracích kostek.[13]

Hrací kostka jako prostředek rozvoje osobnosti žáka

 

Hry jsou jednou z nejstarších forem společenské interakce a neměly by být zvláště u mladších žáků ve školním prostředí utlumeny nebo snad dokonce nahrazeny přehnaným užíváním výukových programů a simulací. Již v 17. století podtrhl Jan Amos Komenský (1592–1670) význam hry ve výchově a vzdělávání tím, že v duchu zásady Schola ludus (tedy „škola hrou“) zařadil heslo „hra v kostky“ na dvoustranu o hrách (výřez z ní je na obr. 7) ve své učebnici Orbis pictus. Komenský si tenkrát jistě uvědomoval význam logických her pro rozvoj myšlení dětí, neuvažoval ale o využití kostek k řešení úloh o pravděpodobnosti. Hru v kostky chápal jen jako vhodnou mimoškolní aktivitu dětí.

Obrázek 7. Výřez z Orbis sensualium pictus (1658) Jana Amose Komenského, část CXXXIV. Ludus Aleae – Das Bretspiel. Zdroj: MZK Brno, digitální knihovna.

Užití hrací kostky ve výuce rozvíjí u žáků řadu žádoucích cílových kompetencí, ať v podobě znalostí, schopností či dovedností. Zřejmě nejčastěji se ve škole uplatní hrací kostky ve výuce matematiky při řešení matematických úloh a v simulaci reálných náhodných dějů. V takovém případě slouží hrací kostka jako materiální didaktická pomůcka k rozvoji matematické gramotnosti žáků při řešení reálných problémů. Kostky lze využít na ZŠ i SŠ. Až s překvapením lze sledovat, jak i středoškoláci rádi a s nadšením provádějí opakované náhodné pokusy.

Ze zkušeností autora rovněž vyplývá, že házení kostkou poskytuje také široký prostor pro dynamický rozvoj řady sociálních kompetencí i osobnostních kvalit žáka. Uveďme např. schopnost efektivní spolupráce a komunikace, schopnost obstát ve skupině kooperujících žáků a uhájit si svou pozici, dovednost organizovat práci členů skupiny, schopnost přispět k budování pozitivního klimatu ve skupině a třídě, rozvíjet vlastní pracovitost a trpělivost, vyslovit své představy a zkušenosti, odůvodnit vlastní odhady a domněnky, svá rozhodnutí podpořit argumenty, schopnost podílet se na vytváření společných závěrů a soudů, dovednost prezentovat zjištění z praktických činností ostatním, rozvíjet vlastní tvořivost, iniciativu a samostatnost, dosahovat vyšších výkonů, rozvíjet schopnost sebekontroly a sebekázně aj.

Využití hrací kostky ve výuce (i mimo ni) podporuje také aktivní způsoby učení žáků. Takzvané činnostní učení vychází z pragmatické pedagogiky amerického filozofa a psychologa Johna Deweyho (1859–1952) a je také zakotveno v RVP ZV. Příprava činnostních forem do výuky je pro učitele často časově náročná, jde však o velmi dobrou „investici“ do všestranného rozvoje žáka.

Je známo z výuky (nejen) matematiky, že se někteří slabší žáci marně snaží vyrovnat svým znalostně nebo dovednostně zdatnějším spolužákům. Proto hra v kostky jako náhodná hra zajistí šanci na školní úspěch všem žákům stejnou měrou. Hod kostkou totiž umožňuje zvítězit každému bez ohledu na jeho kvality. Výsledky tematické či projektové výuky na téma hrací kostky mohou být součástí portfolia v rámci žákova celkového hodnocení.

Shrnutí

 

Hrací kostka byla součástí historie lidstva a používáme ji dodnes. Odpradávna se stala prostředkem zábavy i předmětem zájmu učenců i laiků. Matematické úvahy o náhodě vyústily ve formulaci teorie pravděpodobnosti jako samostatné matematické disciplíny, která spolu se statistikou nabývá ve vědě i v životě lidí stále větší uplatnění. Děti se s kostkami setkávají již od raného věku, proto doporučujeme zařadit téma hrací kostky do výuky. Ve výuce matematiky na ZŠ i SŠ je hrací kostka nezastupitelnou didaktickou pomůckou při řešení úloh o pravděpodobnosti jevů v opakovaných náhodných pokusech. Užití kostky při učebních činnostech žáků přispívá k naplňování konstruktivistických přístupů ve vyučování matematice.

 

Literatura

 

Čechura, J. (2006). Hry a hrací pomůcky. Příspěvek ke studiu volného času ve středověku (Bakalářská práce). Praha: Univerzita Karlova. Dostupné z https://is.cuni.cz/webapps/zzp/detail/27133/

Čechura, J. (2008). Hry v životě středověkého člověka (Diplomová práce). Praha: Univerzita Karlova. Dostupné z https://dspace.cuni.cz/bitstream/handle/20.500.11956/17498/DPTX_0_0_11210_ASZK10001_132027_0_62261.pdf?sequence=1&isAllowed=y

Imperium Romanum (n.d.). Der Würfel. Dostupné z http://imperiumromanum.com/kultur/unterhaltung/gluecksspiele_wuerfel.htm

Kaplan, M., & Kaplanová, E. (2008). Šance je, že… Dobrodružství v pravděpodobnosti. Praha: Triton.

Mareš, M. (2011). Příběhy matematiky. Příbram: Pistorius & Olšanská.

Pickover, C. A. (2012). Matematická kniha. Praha: Dokořán.

Riemer, W. (1988). Riemer-Würfel Spannende und lehrreiche Experimente mit ungewöhnlichen Objekten einzusetzen im Unterricht über Wahrscheinlichkeit und Statistik von Klasse 5 bis.
Dostupné z http://www.riemer-koeln.de/mathematik/quader/riemer-wuerfel-klett.pdf

Vieweg, M. (2018). Mittelalterlicher „Schummel-Würfel“ entdeckt. Damals.de
Dostupné z https://www.wissenschaft.de/geschichte-archaeologie/mittelalterlicher-schummel-wuerfel-entdeckt/

Wikipedia.de (n.d.). Spielwürfel. Dostupné z https://de.wikipedia.org/wiki/Spielw%C3%BCrfel

Wikipedie.cz (n.d.). Hrací kostka. Dostupné z https://cs.wikipedia.org/wiki/Hrac%C3%AD_kostka

 

 

 

 

 

PhDr. RNDr. Jan Fiala, Ph.D.

vystudoval učitelství matematiky a německého jazyka na Pedagogické fakultě Masarykovy univerzity v Brně. Kvalifikaci si dále rozšířil doktorským studiem v programu Pedagogika (se zaměřením na matematiku) na Pedagogické fakultě Univerzity Palackého v Olomouci a absolvováním rigorózního řízení v oboru učitelství matematiky pro střední školy na Pedagogické a Přírodovědecké fakultě Masarykovy univerzity v Brně. Od roku 2001 působil jako učitel na základních a středních školách v Jindřichově Hradci, zvláště na Gymnáziu V. Nováka, kde vyučuje dodnes. Jeho hlavním profesním zájmem je didaktika matematiky na základních a středních školách.

 

Kontakt: fiala@gvn.cz

 

 

[1] Hovorově se užívá pouze označení kostka.

[2] K nejznámějším hrám, při nichž se používají hrací kostky, patří např. vrhcáby, monopoly, craps, francouzský bank, tzv. kostkový poker hraný s pěti kostkami, asijská hra sic bo a mnoho dalších.

[3] Tak, jak je tomu u hrací kostky se šesti stěnami s počtem ok od jednoho do šesti.

[4] Harappská kultura byla starověká kultura nacházející se v povodí řeky Indus, jedna z prvních známých městských kultur na indickém subkontinentu na území dnešního Pákistánu. Počátky harappské kultury sahají do 2. poloviny 4. tisíciletí př. n. l., zánik se datuje asi do let 2600–1900 př. n. l. (zdroj: Wikipedie).

[5] Pro falešné kostky se používá výraz „cinknuté“. Takové kostky mají některé stěny seříznuté či upravené olověnými kousky tak, aby byly některé stěny výsledkem hodu častěji než jiné.

[6] S tímto číselným popisem stěn se kostky údajně dostaly do Evropy.

[7] Vieweg (2018) uvádí, že na kostce chybí stěna s jedním a dvěma oky.

[8] Čechura (2008, s. 45) uvádí za nejstarší bezpečný doklad o hracích kostkách na území Čech rukopis Liber Depictus z roku asi 1350, ve kterém je u obrázku s hrou vrhcáby popsána hra v kostky.

[9] Platónská tělesa jsou pravidelné mnohostěny, jejichž stěny jsou pravidelné mnohoúhelníky. Řadíme k nim pravidelný čtyřstěn, šestistěn, osmistěn, dvanáctistěn a dvacetistěn. Mají řadu zajímavých geometrických vlastností, např. jim lze opsat o vepsat kouli.

[10] Stále se vyrábí egyptské kostky s obrázky či hieroglyfy, u čínských kostek lze na stěnách kostky najít mnoho různých obrázků či symbolů.

[11] V Evropě se takový popis kostek objevil až kolem roku 1450.

[12] Vlastním jménem Antoine Gombaud.

[13] Dvojitá hrací kostka je klasická kostka s oky, která je však průhledná a do níž je vložena další menší hrací kostka. Je dostupná také kostka, do které jsou vloženy tři malé hrací kostky.