Aplikace šifer v aritmetických tématech vyučovaných na základní škole

srpen 2022 Daniel Jandora

V minulosti šifry sloužily zejména pro přenos tajných zpráv a hrály klíčovou roli ve válečné komunikaci. I dnes mají šifry stále svá opodstatnění, jen se jejich forma přenesla z rukou kryptoanalytiků v utajovaných místnostech do virtuálního světa počítačových algoritmů a internetu. V České republice se však spolu se začátkem nového tisíciletí začala v tomto odvětví vyvíjet i netradiční volnočasová aktivita. Kombinace kreativity, logiky a kódování spolu se zážitky z dětských táborů o nejrůznějších honbách za pokladem dala vzniknout prvním šifrovacím hrám. Během posledních let dochází vyloženě k „boomu“ v této oblasti, což přináší každý rok řadu originálních šifrovaček jak pro dospělé (tradičně již např. Tmou, Bedna, Sendvič) tak i pro děti a mládež (např. Dnem, BRLOH, InterLos).

Článek vychází z mé diplomové práce. Jakožto učitel matematiky, který je nadšencem do tohoto fenoménu, spatřuji v problematice šifer potenciál pro oživení klasické výuky a pro motivaci žáků k zájmu o tento předmět. V práci jsem se tudíž pokusil představit konkrétní možnosti aplikování šifrovacích technik ve výuce matematiky na základní škole, konkrétně se zaměřením na aritmetická témata (dělitelnost přirozených čísel, zlomky, mocniny).

 

Co je to šifra?

Pelánek (2014, s. 8) šifru definuje jako zadání (např. obrázek nebo sekvence symbolů), které pomocí vnitřní skryté logiky nese smysluplnou zprávu, přičemž však není jasné, jak tuto zprávu odhalit a jaké informace a postupy přitom použít. Jedná se tedy o nějaký ne úplně dobře strukturovaný problém, jehož postup řešení není na první pohled znám. Šifru si můžeme představit jako určitý kompromis mezi kreativními a matematickými úlohami – vyžaduje tvořivé myšlení, avšak jejím řešením je většinou pouze jedna správná odpověď a to konkrétní heslo. Dobrá šifra by dle Hanžla, Pelánka a Výborného (2007, s. 54) měla splňovat i určitá kritéria jako např. jednoznačné řešení nebo reálné vyřešení bez nutnosti nápovědy. Dále uvádějí i několik doporučení, které dokážou šifru výrazně zatraktivnit – šifra by ideálně měla fungovat na originálním principu a v jejím zadání je vhodné zachovat jednoduchost. Případné přehlcení informacemi zvyšuje počet možných způsobů řešení, což luštitelům značně komplikuje práci a působí demotivačně.

 

Přínosy luštění šifer

Šifry ztělesňují určité tajemství, záhadu, a podstata lidské zvědavosti láká lidi je vyřešit. Představují tudíž určitou výzvu, a to jak pro jejich autory, tak luštitele. Všechny tyto aspekty mohou ovlivnit vnitřní motivaci žáků. Dle Koblitze (1997, s. 317) šifry umožňují žákům spatřit krásnější část matematiky a logiky, kterou jinak skrze mechanické počítání příkladů nepoznají. Dále, stejně jako jiné úlohy využívající práci s abstraktními objekty, procvičují logické myšlení a mohou rozvíjet i prostorovou představivost. Při analýze zadání je potřeba hledat klíčové prvky a jejich případné analogie (typy kódování). Často je nutné se při řešení dívat na zadání různými úhly pohledu, přicházet s novými nápady a myslet kreativně, neotřele (tzv. „outside the box“). Pelánek (2014, s. 9) šifry přirovnává k reálným životním problémům, u kterých předem neznáme správný postup řešení. V neposlední řadě jsou skvělým prvkem pro skupinovou práci, při které získávají účastníci příležitost k osvojení několika interpersonálních dovedností.

 

Šifrovací hra ve výuce

Následující herní formáty vychází z typologie dle Hanžla, Pelánka a Výborného (2007, s. 30) a představují základní styly použitelné ve výuce. Kreativitě organizátorů se však meze nekladou, zvláště, pokud nejsou omezeni prostory třídy a časovým horizontem 45 minut.

1. Pokladovka (lineární hra)

Týmy dostanou zadání prvního úkolu, po jeho vyřešení obdrží další zadání a tímto způsobem postupují až do cílové šifry. Vítězí tým, který se dostane do cíle jako první, případně tým, který skončí na nejvyšší úrovni.

Při organizaci pokladovky je potřeba zvážit zejména časové možnosti a vzhledem k nim zvolit adekvátní počet šifer, resp. úrovní. Dále je nutné promyslet, jak se bude měnit obtížnost jednotlivých úrovní, jaké budou podmínky postupu do další úrovně a zda se bude ve hře používat nějaký systém nápověd.

Realizace v hodině pak může vypadat tak, že žáci obdrží na začátku hry obálku se zadáním šifry první úrovně a po odstartování obálku otevřou a začnou luštit. Pokud odhalí heslo, měli by přivolat učitele, který správnost ověří a předá jim obálku další úrovně. Učitel by měl v tento moment týmu zaznamenat i čas rozluštění (pokud více týmů skončí ve stejné úrovni, lepšího umístění dosáhne tým s dřívějším časem). Zde může nastat kolize v případě, že se více týmů přihlásí naráz. V případě větších tříd (většího počtu týmů) může s organizací pomoci asistent pedagoga nebo může být hodina pojata tandemově spolu s někým z kolegů.

2. Luštitelský pohár (paralelní hra)

Týmům je předloženo několik šifer najednou a jejich úkolem je vyřešit jich v časovém limitu co nejvíce. U tohoto typu hry je vhodné umístit někam tabulku, do které se průběžně zaznamenávají body za vyřešené šifry. Přehled výsledků totiž zvyšuje motivaci a soutěživost ostatních týmů a také se z něj dá vydedukovat obtížnost jednotlivých zadání.

Realizace ve výuce probíhá podobně jako u pokladovky. Na začátku hodiny opět obdrží týmy složku, tentokrát však se všemi zadáními. V průběhu hry tedy učitel již další zadání neposkytuje, pouze zaznamenává časy řešení do tabulky (např. na tabuli). Zadání každé šifry je pro lepší spolupráci a dělbu práce v týmu vhodné poskytnout ve dvou kopiích. Pokud některé týmy vyřeší stejný počet šifer, lépe se opět umístí tým s dřívějším časem posledního zadaného hesla.

Luštitelský pohár je oproti pokladovce mírně náročnější na spolupráci ve skupině. Zatímco u ní se může celý tým soustředit na jedno zadání, zde je pro to, aby se tým dobře umístil, nutné si činnosti v týmu dobře rozdělit, konzultovat pokroky a takticky sledovat tabulku průběžných výsledků.

3. Kombinace lineárního a paralelního schématu

Tento formát může v praxi vypadat například tak, že každá úroveň obsahuje více šifer a pro postup do dalšího levelu je nutné, aby tým určitý počet z nich rozluštil (např. 3 ze 4). Počet šifer v jednotlivých úrovních může postupně klesat a jejich obtížnost se zvyšovat.

Jinou variantou, která umožňuje diferenciaci hry, může být tvorba dvou lineárních cest různé obtížnosti. Jedna cesta se skládá z určitého počtu šifer dané obtížnosti, druhá pak například z dvojnásobného počtu šifer, ale poloviční náročnosti. Obě cesty jsou tedy ve výsledku bodovány stejně a záleží na žácích, jakou strategii zvolí. Na začátku dostanou zadání první úrovně každé cesty a můžou celou dobu řešit obě cesty paralelně. Po správném rozluštění šifry obdrží zadání druhé úrovně dané cesty atd. Na konci každé z těchto cest by měla na týmy čekat stejná „cílová“ šifra, která se jim po úplném průchodu dané trasy zpřístupní. Tento typ hry může fungovat samostatně, nebo jako ozvláštňující prvek delší lineární hry.

 

Matematické šifry

Nejjednodušší metodou pro vytvoření matematické šifry je vymýšlení příkladů, jejichž výsledky nabývají hodnot od 1 do 26, což odpovídá počtu písmen anglické abecedy. Dekódování pak probíhá jednoduše – 1 je přiřazeno písmeno A, 2 je přiřazeno písmeno B a tak dále až 26 je přiřazeno písmeno Z. Výsledky tedy po převedení na písmena dávají heslo. Řešení tohoto typu šifry však nevyžaduje mnoho kreativity a při opakovaném luštění sklouzává k rutinnímu počítání.

Pro ozvláštnění šifry se v matematice nabízí pracovat přímo s jednotlivými čísly, např.:

• grafická úprava čísel (např. aplikováním symetrie na číslice);
• římské číslice;
• digitální číslice (využití sedmisegmentového displeje);
• čísla symbolizující svátky v kalendáři nebo významná data;
• slovní vyjádření (číslovka);
• obrázek (nahrazení číslice objektem, který připomíná);
• asociace (např. 3 sudičky, 12 měsíčků apod.).

Univerzální metodou je také tvorba šifrovací mřížky. Pro matematické účely lze princip mřížky přizpůsobit tak, že jsou do „okének“ mřížky umístěny výsledky daných příkladů a zbylá políčka jsou vyplněna náhodnými čísly. Žáci po vyřešení příkladů vyškrtají v mřížce výsledky, ke kterým dospěli, a získají tak „okénka“ pro čtení zprávy.

V diplomové práci jsem se zaměřil na tvorbu aritmeticky laděných šifer, a to konkrétně v oblasti dělitelnosti přirozených čísel, zlomků a mocnin. V následující části budou představeny konkrétní příklady navržených konceptů šifer z každé oblasti včetně vysvětlení správného postupu pro získání hesla. Tím je v případě těchto šifer vždy název zvířete. Všechny uvedené ukázky jsou původní – při jejich tvorbě jsem vycházel z reflexe vlastních zkušeností s luštěním a tvorbou šifer a opíral jsem se přitom o poznatky ze studia teoretické literatury.

Dělitelná

Tato šifra je založena na znalosti pravidel dělitelnosti dvěma, třemi, pěti a sedmi. V tabulce najdeme násobky těchto čísel. Pokud pro každého dělitele zvolíme nějakou barvu a vybarvíme jí příslušné násobky, získáme grafické heslo.

Smíšená

Při analýze zadání zjistíme, že jmenovatel je ve všech případech 26 (odkaz na abecedu), přičemž čitatele nabývají výrazně vyšších hodnot. Pokud zohledníme i název šifry, mělo by nás napadnout, že se bude jednat o využití smíšených čísel. Po převedení všech zlomků do tvaru smíšeného čísla a přepisu jednotlivých čísel na písmena získáme první část tajenky přečtením celých částí, přičemž samotné heslo vyčteme z čitatelů zbylých zlomků.

Nákup

Na účtence je nápadné, že ceny jednotlivých položek jsou vždy druhou mocninou nějakého přirozeného čísla. Pokud je však odmocníme a převedeme na písmena, nic kloudného nezískáme. Pro odhalení tajenky je třeba vzít v potaz i samotné položky nákupu. Správné řešení získáme, jestliže z každého produktu vezmeme tolikáté písmeno, jaké nám udává odmocněná hodnota ceny.

 

Závěrem

Věřím, že šifrování má ve výuce matematiky své místo – ať už jako aktivita pro celou třídu, nebo jako prvek diferenciace výuky pro nadané žáky. Kromě již zmiňovaného motivačního aspektu mohou šifry představovat i problémové úlohy pro badatelsky orientované vyučování. Problematika šifer a kódování navíc získává v rámci výuky větší prostor díky nové revizi RVP, která zavádí vzdělávací obor Informatika s rozšířenou hodinovou dotací na druhém stupni.

Osobně jsem přesvědčen, že s trochou kreativity je možné vymyslet šifru na libovolné matematické téma. Není však nutné omezovat se jen na matematiku – šifry je možné aplikovat i v jiných předmětech, přičemž každý nabízí své originální prvky pro kódování (např. periodická tabulka prvků, pravopis…). Právě v tomto ohledu může diplomová práce posloužit všem učitelům, kteří by tímto stylem svou výuku rádi oživili, jako zdroj inspirace a vodítko pro jejich vlastní tvorbu.

Literatura

Hanžl, T., Pelánek, R., & Výborný, O. (2007). Šifry a hry s nimi: kolektivní outdoorové hry se šiframi. Portál.

Koblitz, N. (1997). Cryptography as a teaching tool. Cryptologia (21:4), 317-326. doi:10.1080/0161-119791885959

Pelánek, R. (2014). Hlavolamikon: sbírka hlavolamů, hádanek, šifer a logických úloh. Computer Press.

Jandora, D. (2021). Aplikace šifer v aritmetických tématech vyučovaných na základní škole. [Diplomová práce, Masarykova univerzita]. Archiv závěrečných prací MUNI. https://is.muni.cz/th/zhldd/

 

O autorovi

Mgr. Daniel Jandora vystudoval učitelství matematiky a fyziky pro základní školy na Pedagogické fakultě Masarykovy univerzity. Momentálně vyučuje na ZŠ Hudcova v Brně. Ve svém volném čase se věnuje dalšímu vzdělávání a je aktivním účastníkem šifrovacích her.