5. Animace  STR  samostatné části

 

1. Seznámení,

2. Co je to skutečnost,

3. Synchronizace hodin,

4. Měření kontrakce délky,

5. Skládání rychlostí,

6. Současnost událostí,

7. Dilatace času,

8. Rozloučení.

 

--------------------------------------------------------------------------------------------------

 

FYZIKÁLNÍ KOMENTÁŘ

Animace samy o sobě by měly být srozumitelné a pochopitelné. Na tomto místě spíš zdůvodňujeme, proč jsme se rozhodli pro ilustraci určitého pokusu daným způsobem, co bylo potřeba vzít v úvahu, co bylo nutné zanedbat apod. Pro tuto textovou podobu práce zde místo animací nabízíme k nahlédnutí alespoň obrázky z jednotlivých scén a text nahraných dialogů, které animace obsahují. V textu jsou zdůrazněny tučně slova nebo věty, ke kterým uvádíme na následujících stranách fyzikální komentář.

 

5.1. ANIMACE PRO STR

 

V denní praxi není důvod zabývat se způsobem, jakým se měření provádí. Všichni, kdo měří, by měl získávat stejné hodnoty. Předpokládejme, že jsme v letadle a že chceme zjistit jeho délku. Vše, co musíme pro to udělat, je přiložit konec měřidla na jeho příď a na druhém konci zjistit jeho délku.

Ale pokud stojíme na zemi a letadlo letí nad námi? To se nám věci trochu komplikují, protože letadlo, které nese informaci pro náš měřicí přístroj, se pohybuje. Podle Einsteina se naše měření délky, času a hmotnosti bude lišit od hodnot naměřených někým jiným na palubě letadla.

 

Einstein vyšel ze dvou postulátů. První se týká platnosti fyzikálních vztahů ve vztažných soustavách. Pokud řekneme, že se někdo pohybuje, míníme tím, že se jeho pozice vzhledem k někomu jinému mění. Cestující jdoucí uličkou mezi sedadly se pohybuje vzhledem k letadlu, letadlo se pohybuje vzhledem k Zemi, Země se pohybuje vzhledem ke Slunci, atd.

Pokud jsme v nákladovém prostoru letadla, který je bez jediného okénka, nemůžeme říct, zda letadlo letí, nebo stojí v hangáru, jelikož bez vnější vztažné soustavy nemá tato otázka smysl. Proto výrok, že se něco pohybuje, vždy vyžaduje vztažnou soustavu.

 

Dílo Galileo Galilei naznačuje první postulát, který převzal Einstein:

Zákony fyziky jsou stejné ve všech vztažných soustavách pohybujíc ích se konstantní rychlostí jedna vzhledem k druhé.

 

Pokud se formulace fyzikálních zákonů dvou pozorovatelů v různých vztažných soustavách liší, nacházejí se tito pozorovatelé v soustavách, z nichž alespoň jedna není inerciální.

 

Druhý postulát zformulovaný Einsteinem vycházející z výsledků mnoha důležitých měření říká:

Rychlost světla ve vakuu je konstantní pro všechny pozorovatele,nezávisle na rychlosti zdroje světla.

 

Rychlost světla ve volném prostoru je zhruba c = 3• 108 ms-1.

Předpokládejme nyní, že první pozorovatel v letadle, pohybujícím se konstantní rychlostí, naměří jeho délku L0, hmotnost m0 a určitý časový interval (řekněme hodinu na svých hodinkách) jako čas t0. Einstein ukazuje, že druhý pozorovatel na Zemi naměří tyto veličiny jako:

Tedy pro pozorovatele na Zemi se letadlo jeví kratší a hmotnější, než se jeví pozorovateli v letadle, a hodinky prvního pozorovatele v letadle tikají pro druhého pozorovatele na Zemi pomaleji.

Protože je rychlost světla ve srovnání s běžnými rychlostmi c tak vysoká, jsou tyto rozdíly malé a je těžké je vůbec detekovat. Nicméně, s rostoucí rychlostí v blížící se rychlosti světla c, jak je tomu například v mikroskopickém světě tak malých částic jako jsou elektrony a protony nebo při vysokých nárocích na přesnost, se tyto vztahy plně uplatní.

 

Tato Einsteinova teorie z roku 1905, která vedla k výše uvedeným závěrům, se nazývá speciální teorií relativity, neboť je omezena pouze na inerciální vztažné soustavy bez gravitace. Pozdější teorie obecné relativity, ve které se již pracuje i s gravitací, zahrnuje i popis fyzikálních dějů v neinerciálních soustavách.

----------------------------------------------------------------------------------------

 

Animace

V příběhu vystupují tyto postavy:

Profesor (značen ve scénáři písmenem P),

Ufon (U),

Vypravěč (V)

Televizní moderátorka (TV).

 

5.1.1. část  Seznámení

 

Kapitola „Seznámení“ si klade jediný cíl. Uvést diváka do děje, seznámit jej s

postavami a prostředím, kde se příběh odehrává. Profesor sedí doma u

televize a sleduje zpravodajství, Ufon, který prováděl průzkum naší planety

pro mezigalaktickou misi, se hlásí Profesorovi z rakety.

 

 

TV: Přesně o půlnoci, kdy byl odpálen 1. silvestrovský  ohňostroj na oslavu nového roku, byl záhadným způsobem  ukraden nejnovější model rakety L0, jejíž konstrukce trvala  10 let a jejíž start se dalších deset let odkládal kvůli řadě  nejasností ohledně chování těles při velkých rychlostech.  Neslýchaná drzost!

 

P: Spíš výborná příležitost konečně ji odstartovat!

 

V:   Profesor je člověk středního vzrůstu, průměrného

fyzikálního vzdělání a s touhou pochopit, jak funguje svět.

Tajně doufá, že jednou vymění bílý plášť za skafandr. Věří v

Ufony. Při prvním setkání s nimi mu vypadalo hodně vlasů

a od té doby i zvláštně chodí. Jako jediný z pozemšťanů však

s mimozemšťany komunikuje.

 

TV: …využít silvestrovského ruchu pro odpálení rakety lze

  považovat za geniální nápad. Ovšem 3-systémový

  zabezpečovací systém neindikoval v blízkosti odpalovací

  rampy žádného člověka! Závěrem tedy je, že trestný čin

  nemohl být spáchán nikým z pozemšťanů.

 

P: ..chmm.. vím... šel jsem mu zamávat. A předali jsme si

   komunikátor. Vidíte, jak je to relativní. Z pohledu médií

   šlo o neslýchanou krádež, mně to přišlo jako dobrá

   příležitost zjistit jak probíhají děje při vysokých rychlostech

   …a z pohledu ufona šlo o pokus navázat komunikaci s

   pozemšťany. Vždyť jsme je dosud ignorovali!

 

U:  Musím splnit mezigalaktickou misi a donést zprávy o

vyspělosti vaší civilizace.

 

V:  Ufon je mírumilovný mimozemšťan humanoidní rasy.

Stupeň civilizace jeho planety je na tak vysoké úrovni, že se

dokáže pohybovat rychlostmi blížícími se rychlosti světla a

poznatky speciální teorie relativity uplatňuje v běžné praxi.

Jeho posláním je navázat kontakt s jinými civilizacemi a

případně je posunout ve vývoji dál.

 

U: Vím už vše o vašich stravovacích návycích, způsobu

   komunikace a zábavy, chybí mi už jen informace o tom,

   jakou maximalní rychlostí jste schopni se pomocí vašich

   strojů pohybovat! Nashledanou!

---------------------------------------------------------------------------------------------------

 

Komentář k jednotlivým bodům:

 

..předali jsme si Komunikátor

Ufon s Profesorem se spolu dorozumívají pomocí hypotetického komunikátoru, který umožňuje získávat odpovědi od druhého, bez jakéhokoli zpoždění, nezávisle na vzdálenosti obou postav od sebe. Příběh je vystavěn na dialozích, proto v těchto kapitolách tento fakt nerozvádím. K otázce komunikace v reálném čase se vracím v části práce “Paradox dvojčat”...jak je to relativní Pojem relativní se zde vyskytuje v kontextu běžného života. Divák tak na příkladu ze života pochopí jeho obecný význam. Věc se jeví jinak z různých pohledů. Proto i krádež rakety může znamenat pro různé osoby různou věc. Ano, krádež rakety je katastrofou pro kosmické centrum, které mnoho let připravuje její start. Z hlediska Ufona však znamená krádež rakety pokus o navázání kontaktu s pozemšťany. A netrpělivý Profesor na čin nahlíží také po svém.

 

 

5.1.2. Co je to skutečnost

 

Tato kapitola se snaží na příkladu relativity délek přiblížit zrádný pojem skutečnost. Vlastní délka neboli klidová délka, značená L0, je délka objektu měřená v jeho klidové soustavě.

P: Leť, ale nezapomeň, cos mi slíbil. Budeš mi hlásit všechno

   co zažiješ! Tak rychle jako ty nikdo z nás ještě neletěl!

 

U: Ovšem. Zapiš si.

 

U:   Délka rakety je L0= 10 m. Je to tzv. vlastní délka

objektu měřená ve vztažné soustavě s ním spojené

 

P: Haló, jsi na příjmu? Jakou rychlostí letíš? Dějí se divné

věci!

 

U: Letím rychlostí šest desetin rychlosti světla!

 

P: Šmankote…Zkracuješ se! Není ti tam v kabině nějak

těsno?

 

U:  Vše mám pod kontrolou. S kabinou se nic zvláštního

neděje. Mám pořád dost místa na všechny nohy. Prolétám

kolem Země…a ta se mi zdá být ve směru pohybu jakási

placatá chachá!

 

P:  Cože? Placatá.? To si mysleli ve středověku. Že bychom

se další stovky let mýlili? To není možný! Ne, počkej

Ufone, je skutečně naše Země placatá? Tvá raketa

zkrácená skutečně je!

 

U:  Člověče, takovéto výrazy skutečně, skutečně….Je to

skutečně tak? Skutečně nemají smysl! Co je to skutečnost?

To co vidíš. Potom se z tvého pohledu moje raketa

skutečně smrskla.ale pro mě se nic nezměnilo.

 

U: Já vidím vaši Zemi skutečně placatou a ty tvrdíš, že je

   kulatá. Ale nikdo z nás nemá větší pravdu.

 

U:   Jestliže se vůči sobě pohybujeme, pozorujeme stejný

efekt- zkrácení délek ve směru pohybu. Je to takspravedlivé.

 

Měření délky v každé vztažné soustavě, která koná relativní pohyb rovnoběžný s touto délkou, dává výsledek, který je vždy menší než vlastní délka.

skutečnost= „obvykle totéž co realita, označení toho, co jest oproti pouhému zdání [15].“

 Vztažná soustava je dána vztažným tělesem, na kterém se zvolí vztažný bod jako počátek soustavy souřadnic pevně spojené se vztažným tělesem při dohodnutém způsobu měření času [7]. V našem případě je tedy vztažnou soustavou Země, na které raketa před odletem stojí. Klidovou délku rakety tedy měříme od povrchu Země.

 

Letím rychlostí 0.6 c…

V našem případě je vhodné udávat rychlosti těles v násobcích rychlosti světla. Je na místě pochybovat o tom, že Ufon je s ukradeným modelem rakety sestrojeným pozemšťany schopen se pohybovat tak velkou rychlostí. Ano, naše rakety jsou schopny se pohybovat rychlostmi od 3000 do 30 000 m/s,tedy maximálně 0.0001 C. Tento fakt je v této části práce opomíjen, ale vracím se k němu v kapitole Dilatace času.

 

Je skutečně naše Země placatá?

Realita je založená na pozorováních a měřeních; jestliže výsledky vždy vzájemně souhlasí a nelze najít žádnou chybu, pak to, co bylo pozorováno a měřeno, je reálné. V tomto smyslu se objekt opravdu zkracuje. Přesněji bychom však mohli říci, že zkrácení objektu je opravdu změřeno – pohyb ovlivňuje měření a tím i realitu.

 

..nikdo z nás nemá větší pravdu.

Princip relativity nám říká: „Fyzikální zákony jsou stejné pro pozorovatele ve všech inerciálních vztažných soustavách.“ Žádná soustava není preferována.Nemá smysl se tedy hádat, jaký tvar má Země, jsou-li účastníci hádky každý v jiné soustavě.

 

 

 

5.1.3. Synchronizace hodin

 

Tato kapitola se věnuje záměrně jen problematice synchronizace hodin

 

P: A mohl bych nějakým způsobem na zemi změřit, jak

   se tvá délka rakety v závislosti na rostoucí rychlosti

   zkracuje? Mám dojít pro pásmo?

 

U: Ne, takhle bys začátek a konec rakety nikdy nezměřil

   současně. Budeš potřebovat řadu synchronizovaných

   hodin s čidly.

 

P: Bezva, máme jich spoustu na půdě. Ale jak je mám

   zesynchronizovat?

 

U: Ukážu ti, jak jsme prováděli synchronizaci času v prostoru.

   Hodinami jsme vydláždili jednu část vesmíru, abychom se

   tam mohli pohybovat libovolně velkými rychlostmi a

   současně se orientovali v místním čase.

 

U: Synchronizaci hodin provádíme z jednoho místa. Na

  hodinách v tomto místě nastavíš čas 0 sekund a rozsvítíš

  světlo.

 

U:  Světlo se šíří od zdroje všemi směry a když toto světlo

zaregistrují jiné hodiny v prostoru, začnou jít. Takhle se

postupně světlo dostane až k nejzazším hodinám.

Výsledkem je prostor posetý hodinami, které jdou různě.

Z každého místa, kde jsou umístěny hodiny, tě pak

pomocník požádá: „nastav mi zrcátko“, a vyšle světelný

paprsek, který se k němu zpět odrazí. Zjistí čas od

vypuštění paprsku do jeho návratu, vydělí dvěma a o

tolik posune své hodiny dopředu. Stejným způsobem zjistí

i pomocníci na ostatních místech čas, o který musí své

hodiny posunout dopředu. Výsledkem je prostor

vydlážděný hodinami, které ukazují stejný čas, tedy jsou

synchronizované.

 -------------------------------

.

Z vlastní zkušenosti víme, jak je důležité pochopit důvod, proč je synchronizaci hodin potřeba dělat a jak ji lze provést.

A mohl bych nějakým způsobem na zemi změřit, jak se tvá délka rakety v závislosti na rostoucí rychlosti zkracuje?

 

Stojí-li raketa na startovací rampě, která je vůči vám v klidu, stačí pro změření

její délky zaznamenat polohy jejich konců na nehybném měřítku a oba údaje

odečíst. Pokud se ale raketa pohybuje, musíme zaznamenat polohy jejích

koncových bodů současně (v naší vztažné soustavě). Jinak by se naše měření

nedalo nazvat měřením délky. K tomu právě využijeme řadu synchronizovaných hodin.

 

Synchronizace hodin

Metoda komentovaná Ufonem v animaci nabízí řešení, jak zesynchronizovat hodiny jen pomocí zrcadel, bez nutnosti měření vzdáleností míst, kde jsou

hodiny rozestavěny. Metoda je založena na postulátu rychlosti světla: „Rychlost světla ve vakuu má stejnou velikost C ve všech směrech a ve všech

inerciálních vztažných soustavách, nezávislou na rychlosti zdroje“. Dnes je tato metoda prakticky využívána k měření vzdáleností ve sluneční soustavě

(připomeňme že úlohu světla může hrát elektromagnetického záření libovolných frekvencí, v praxi například radiový signál) [14].

 

„Nastav mi zrcátko“

Pokřikování hlubinami vesmíru takhle samozřejmě nefunguje. Zvuk je mechanické vlnění a ke svému šíření potřebuje látkové prostředí. Pokřikování je zde použito z důvodu srozumitelnosti celé akce. Je tak jasné, ze kterého místa se paprsek vypouští. Tato metoda by mohla fungovat i tak, že by v místě uprostřed, kde Ufon sedí na hodinách, byla soustava rovinných zrcadel odrážející paprsky ke všem ostatním hodinám v prostoru.

Zjistí čas od vypuštění paprsku do jeho návratu, vydělí dvěma…

Čas 2t, který pomocník naměří, odpovídá vzdálenosti 2S, kterou paprsek rychlostí C urazí k Ufonovu zrcadlu a zpět k němu. Pomocník tento naměřený čas 2t vydělí dvěma, aby zjistil, jakou dobu trvá paprsku cesta jen od zrcadla k němu - tedy čas, o který musí své hodiny posunout dopředu. A protože zná rychlost světla C, může jednoduše vypočítat i svoji vzdálenost S od zrcadla: S =C t .

 

 

5.1.4. Měření kontrakce délky

Tato kapitola podává návod, jak by bylo možné změřit kontrakci délky.

 

U:   Abys mohl na zemi měřit kontrakci délky rakety,

musíš vytvořit hustou řadu synchronizovaných

hodin kolem nichž raketa prolétává. Každé hodiny

mají dva displeje. Čas na horním displeji se zastaví v

okamžiku průletu začátku rakety. Čas na spodním

displeji se zastaví při míjení konce rakety. Experiment

vyhodnotíme takto: Najdi dvojici hodin, které se

vyznačují tím, že první hodiny na dolním displeji

(určující čas průchodu konce rakety) ukazují stejný čas

jako druhé hodiny na horním displeji (které se

zastavili při průchodu začátku rakety). Vzdálenost

těchto dvou hodin určuje kontrahovanou délku

rakety.

   Čím hustěji tedy hodiny rozmístím, tím přesněji

budu měřit. Tato metoda umožňuje měřit

relativistické zkrácení rakety, neříká ovšem nic o

tom, jak dlouhou bych raketu viděl z jednoho místa

ze Země.

P:

 

U:  Abychom se nezdržovali, budou výsledky

následujícího měření rakety ukazovány hned. My však

ale víme, že je lze získat až zpětně po pokusu. Tak

jdeme měřit!

 

P:  Čím se raketa pohybuje rychleji, tím více se ve

směru pohybu zkracuje. Zkuste pravou šipkou na

klávesnici zvýšit rychlost. Levou šipkou můžete

raketu zpomalit a mezerníkem si dát „pauzu“ a

prostudovat čísla na displejích. 1. displej zobrazuje

aktuální rychlost rakety vzhledem k rychlosti světla.

Na druhém vidíte podíl aktuální délky rakety ku

klidové délce, kterou jsme změřili před startem.

A co by se stalo, kdybys dosáhl rychlosti světla?

 

------------------------------------------------

Musíš vytvořit hustou řadu synchronizovaných hodin…

Aby bylo možné určit délku pohybující se rakety na Zemi, je třeba zaznamenat oba jeho konce současně (v naší vztažné soustavě spojené se Zemí). Využíváme k tomu řadu synchronizovaných hodin (např. dle návodu v minulé kapitole) s čidly. Čidla pracují tak, že zastavují čas na displejích hodin, když nad sebou zaregistrují začátek či konec rakety.

 

Relativistické zkrácení rakety

Animace nezahrnuje všechny vlivy vzniklé v důsledku konečné rychlosti světla. Zkrácení, o kterém se v práci hovoří, je dáno pouze relativistickými

jevy:

Jev kontrakce délek nevypovídá nic o tom, jak by pozorovatel viděl pohybující se těleso z jednoho místa ve své vztažné soustavě. Pozorovatel obecně vzato nevidí tyč této délky L, protože pozoruje její přední a zadní konec v různých časech. Skutečnou (kontrahovanou) délku pohybující se tyče v naší vztažné soustavě můžeme pozorovat pouze v okamžiku, kdy vidíme oba její konce ve stejné vzdálenosti, tj. když nás právě míjí její střed. Pro dostatečně vzdálenou tyč je vliv konečné rychlosti světla na její pozorovanou délku vždy významnější než relativistická kontrakce. Pro více informací ohledně pozorovaného tvaru rychle se pohybujících těles se vás dovoluji odkázat na Elektronickou učebnici „základy teorie relativity“, kde je problematika dopodrobna objasněna[14].

Čím se raketa pohybuje rychleji, tím více se ve směru pohybu zkracuje. Kontrakce se samozřejmě začne projevovat výrazněji až při rychlostech

blížících se rychlosti světla. Zájemce může zjistit hodnoty zkrácení při libovolných rychlostech pomocí interaktivní animace. (Lze samostatně spustit soubor 28.swf.)

Oranžově rozsvícené hodiny vyznačují aktuální délku rakety změřenou na Zemi.

 

 

5.1.5. Skládání rychlostí

 

U: To prakticky není možné. Nic hmotného nelze

   urychlit na rychlost světla. Moje délka by se zkrátila

   na nulu, čas by mi přestal plynout a vůbec bych

   nebyl vidět.

 

U: Dám ti úkol. Díváš se ze země. Letím kolem tebe

  raketou rychlostí 0.5c a z mé rakety vystartuje

  druhá raketa letící také rychlostí 0.5c vzhledem

  k první. Jakou rychlostí poletí 2. raketa vůči

  tobě?

 

P:

  Selský galileovský rozum říká že 0.5c + 0.5c je

C. Ale c přece nemůžeme dosáhnout. Takže je to

zřejmě jinak.  Ano, galileovsky můžeš sčítat rychlosti selat,

ale ne rychlosti srovnatelné s rychlostmi světla!

Takto velké rychlosti nelze vektorově skládat.

 

U:

 

U: Jestliže vyletí raketa rychlostí 0.5c a z ní druhá

  raketa toutéž rychlostí 0.5c vůči první, bude se

  druhá raketa vzhledem k tobě pohybovat rychlostí

  0.8c. Vystartuje-li z druhé rakety stejnou rychlostí

  0.8c třetí raketa, bude se ta třetí vzhledem k tobě

  pohybovat rychlostí 0.98c. Když budeme stejným

  způsobem vypouštět další rakety, čtvrtá se bude

  pohybovat rychlostí 0.99c a další a další vystřelené

  rakety se stále budou blížit rychlosti světla, ale

  nikdy jí nedosáhnou. Víš co Profesore, vezmu tě

  sebou do vesmíru, ať na sebe pořád nemusíme

  hulákat.

 

………………..

Tato kapitola pojednává o jedné z nejdůležitějších věcí, kterými se teorie relativity liší od klasické fyziky: Skládání rychlostí.

Jakou rychlostí poletí 2. raketa vůči tobě?

Klasické skládání rychlostí pro velké rychlosti musí fungovat jinak. Při klasickém skládání rychlostí by totiž rychlost světla nemohla zůstat stejná ve všech inerciálních soustavách.

 

Selský galileovský rozum říká…Vysvětlíme si nyní, jak jsme spočítali velikosti rychlostí raket. Proveďme výpočet nejdříve klasicky:

Počítáme-li skládání rychlostí klasicky, považujeme raketu pilotovanou Ufonem za vztažnou soustavu K', Profesora za vztažnou soustavu K.

Soustava K' se pohybuje vůči soustavě

K rychlostí V=(V,0,0), raketa vypuštěná z ufonovy rakety se pohybuje v témže směru rychlostí o velikosti

v' x , průměty této rychlosti do směrů os y' a z' jsou nulové.

Profesor by tedy naměřil, že raketa dosáhla rychlosti světla! Pokud nyní bereme tuto raketu pohybující se vůči profesorovi rychlostí c za vztažnou soustavu K' a má-li raketa z ní vyletující rychlost stejnou, tj. c, získá podle předchozího vztahu vůči profesorovi rychlost 2c ! Každá další raketa vyletující z předchozí rakety rychlost světla mnohonásobně překračuje. Raketa ale rychlost světla překročit nemůže a klasické (galileovské) skládání rychlostí

zde tedy selhává [14].

Galileovsky můžeš sčítat rychlosti selat, ale ne rychlosti srovnatelné s rychlostmi světla!

Počítejme tedy rychlosti raket podle vztahu pro relativistické skládání rychlostí.

 

Raketu pilotovanou ufonem považujme nadále za vztažnou soustavu K' a Profesora za vztažnou soustavu K. Po dosazení číselných hodnot ze zadání

dostáváme pro složky rychlosti naměřené profesorem.

vx

 

Pokud nyní bereme tuto raketu pohybující se vůči profesorovi rychlostí 0.8c za vztažnou soustavu K0, a má-li raketa z ní vyletující rychlost stejnou, tj. 0.8c,získá podle předchozího vztahu vůči Profesorovi rychlost:

Další rakety vypuštěné stejným způsobem by pak získaly rychlosti 0.9996c, 0.99999c, ..., čili by se jejich rychlost neustále blížila rychlosti světla, ale nikdy by jí nemohla dosáhnout ani překročit.

Relativistický zákon skládání rychlostí tedy splývá s klasickým v situaci, kdy je rychlost pohybu tělesa v 0 = (v 0 x , v 0 y , v 0 z ) malá ve srovnání s velikostí rychlosti světla c, a pokud táž podmínka platí i pro rychlost V = (V, 0, 0)

[14].

 

 

 

5.1.6. Současnost událostí

 

P: V televizi říkali, že Raketa odstartovala přesně o

   půlnoci, současně se zábleskem prvního

   ohňostroje. Já jsem však nejdřív zahlédl plameny

   rakety a až potom záblesk z ohňostroje. To mi

   nehraje…

 

U: Uvědom si, odkud si obě události pozoroval. A

  jakou rychlostí se šíří světlo?

 

P: Ve vakuu se světlo pohybuje rychlostí 300 tisíc

   kilometrů za sekundu, tedy 3* 108 m/s

 

U: Hmmm… to je rychlost obrovská, ale ne

   nekonečná. A protože raketa byla k tobě blíž než

   ohňostroj, i světlo z ní k tobě přišlo dřív než ze

   vzdáleného města. A proto jsi obě události

   nezaznamenal jako současné, ač současné byly.

   Povím ti jeden zajímavý případ, kvůli kterému mě

   vyhodili od dráhy a musel jsem přejít k

   misionářství.

 

U: Tehdy jsem dostal za úkol vymyslet systém

   současného otevírání dveří vlaku za jízdy pro

   případ evakuace. V nebezpečí se uprostřed vlaku na

   střeše rozsvítí světlo, které zachytí detektory u dveří

   na koncích vlaku a zajistí otevření dveří.

 

P:  Hm… to´s vymyslel chytře… ale proč tě teda

vyhodili…?

 

U: Můj nápad se potom testoval. Vylezl jsem na

   střechu ke světlu, abych mohl experiment

   sledovat. Dopravní inspektor stál na nástupišti a

   kontroloval, zdali se dveře otevřou současně.

 

U: Projížděli jsme stanicí rychlostí blížící se rychlosti

   světla. S úspěchem jsem zaznamenal, že se dveře

   otevřely současně. Inspektor však přísahal, že viděl,

   jak se zadní dveře otevřely dřív než přední.

 

P: No, inspektor totiž viděl, jak konec vlaku šel paprsku

   naproti, zatímco přední část paprsek musel dohánět.

   To je jasný.

 

U: Pohádali jsme se. A jelikož byl inspektor ve funkci,

  která mu zajišťuje, že má vždycky pravdu, vyhodili

  mě.

 

P: A vymyslel někdo lepší systém než ty?

 

U: Ne současnost událostí je totiž relativní. Systém

   zůstal stejný, jen se vydal předpis, že před evakuací

   je třeba vlak zastavit. Pak byl i inspektor stojící na

   nástupišti uprostřed zastaveného vlaku spokojen.

 

P:   No, u nás na Zemi stejný problém s neshodou

současnosti vyřešili chytřeji. U každých dveří je

vyvěšena cedulka: Zákaz otvírání dveří během

jízdy…ale vždy jsem si myslel, že je to spíš proto,

aby nikdo z vlaku za jízdy nevypadl.

 

U: Ach jo, snad nebyl Einstein jediný, kdo s námi

   dokázal komunikovat na úrovni! Vaše vlaky jezdí

   natolik pomalu, že by se takováto neshoda

   současnosti sotva projevila. Profesore, nemáte

   náhodou doma kozu s konstantní bobkovací

   frekvencí?

 

---------------------

V této kapitole se nejdřív přesvědčíme o tom, že rychlost světla není nekonečná, a poté s tímto poznatkem budeme pracovat dále. Princip konstantní rychlosti světla totiž zcela jasně vede k relativitě současnosti Hmmm… to je rychlost obrovská

Uvedená animace demonstruje, že rychlost světla je velká, ale konečná. Profesor i televizní hlasatelka se nacházejí ve stejné inerciální soustavě (neboť se vůči sobě nepohybují) a pozorují události, které jsou v této soustavě současné. Současně je však vidí jen hlasatelka, která stojí uprostřed mezi místy, v nichž se události odehrávají, zatímco profesor stojí blíže místu startu rakety, a proto k němu dorazí informace o startu rakety dříve než informace o výbuchu ohňostroje[14].

Vylezl jsem na střechu ke světlu, abych mohl experiment sledovat.

Ufon má naštěstí oči dostatečně daleko od sebe a je schopen pozorovat oba konce vlaku zároveň. Sedí uprostřed na střeše vagónu a vidí současně otevření

dveří na obou jeho koncích. Právem z toho vyvozuje, že dveře se otevřely současně.

Současnost událostí je totiž relativní

Pokud se dva pozorovatelé vzájemně pohybují, pak se nebudou obecně shodovat v tom, které události jsou současné. Když je jeden pozorovatel označí za současné, pro druhého obecně současné nebudou, a opačně.

Současnost není absolutním pojmem, ale pojmem relativním, který závisí na vztažné soustavě, v níž pozorovatel stojí [8].

Vaše vlaky jezdí natolik pomalu, že by se takováto neshoda současnosti sotva projevila. Je-li relativní rychlost pozorovatele mnohem menší než rychlost světla, pak měřené rozdíly současnosti pro různé pozorovatele jsou příliš malé, než abychom je zaznamenali. Tak je tomu ve všech zkušenostech z našeho běžného života, a proto působí relativita současnosti tak neobvykle [14].

 

 

5.1.7. Dilatace času

 

U:     Profesore, nemáte náhodou doma kozu

s konstantní bobkovací frekvencí?

 

P: Ale jistě, stačí ji nakrmit. Je bobkovací frekvence

   1bobek za sekundu vhodná?

 

U: To se přesně hodí!

 

P: Moje koza je odolná, nebojácná, s úžasně

   harmonickým trávením. Produkuje 1 bobek za

   sekundu za jakékoli situace.

 

U: Tvá koza se bude pohybovat různými dopravními

   prostředky a bude bobkovat. Ty, profesore, budeš mít

   za úkol vždy změřit vzdálenosti bobků. Sežeň vozík,

   fáro a letadlo. Já pak svezu kozu raketou a seženu

   snad ještě něco rychlejšího. Vystupovat!

 

P: Pro představu o rychlostech zkusme každým ze

   jmenovaných prostředků urazit vzdálenost 1 km.

   Ufufuf..tak s vozíkem rychlostí 1m/s by mi to trvalo

   1000 sekund, tedy necelých 17minut. Tak na to čekat

   nebudem.

 

P: Rychlým autem pohybujícím 180 km/h, což je 50

   m/s, vzdálenost 1km urazíme za 20 sekund…to je

   taky doba…

 

P: Letadlem letícím rychlostí 300m/s to máme za 3,33

   sekundy,

 

P:  A pozor, raketa se jen kolem mihne. 1/30

sekundy…to sotva okem zahlédneme.

 

P: A rychlejší kosmická plavidla a talíře už vůbec

   nepostřehnem. (Hm…, s kozou na vozíku jsme zatím

   nedošli ještě ani do desetiny vzdálenosti.)

 

U: Nakrm kozu a můžeme začít!

 

P: Abychom mohli v klidu sledovat každý experiment,

   vyhradíme si na něj 10 sekund. Koza na vozíčku pak

   ujede 10m a v kosmické hyperlodi urazíme 2 400 000

   km. Těmto vzdálenostem bude vždy odpovídat

   vzdálenost mezi startem a cílem. Pak se bude koza ve

   všech dopravních prostředcích na našem monitoru

   pohybovat zdánlivě stejnou rychlostí, ale my víme, že

   rychlosti jsou diametrálně odlišné.

 

Zvuk: Start! Rychlost kozy = 1m/s, vzdálenost start cíl je

   10m.. Bob…bob…píp…píp…Cíl!

 

P: Vezmu si měřící tyč, jejíž délka 1m je číselně rovna

   rychlosti kozy 1m/s.

 

P: 1.2.3….10 úseků oddělených bobky, nádhera, jak jsem

    předpokládal. Vzdálenost mezi bobky je skutečně

    přesně 1m. Kozo, nastup si do auta.

 

P: Auto s kozou se pohybuje rychlostí 50m/s a za 10s

   urazí vzdálenost 500m. Cíl! Beru si měřící tyč délky

   50m a 50m mezi bobky přesně sedí.

 

P: Kozo, poletíš letadlem! Start! Rychlost letadla s

   kozou je 300m/s, vzdálenost 3km, bobkovací

   frekvence 1bobek/s je pořád stejná. Vzal jsem si

   tyč dlouhou 300m. Koukám, že vzdálenosti bobků

   přesně souhlasí s délkou tyče. Kozo, poletíš

   raketou!

 

P: Kolik letíte?

 

U: Rychlostí 30 000 m/s

 

P:

 Tak se kozo neboj a pěkně trav! Trasa mezi bobky

je dlouhá jak z Brna do Litoměřic, tedy 300 km.

Vzal jsem si 30 kilometrovou tyč a porovnávám,

porovnávám…a vzdálenosti mezi bobky opět

přesně souhlasí. Kozo, promiň, ale musíš nastoupit

do ještě rychlejší vesmírné lodi.

 

P: Ta s tebou poletí 40 000 metrů za sekundu. Za

   deset sekund uletíš vzdálenost 400 tisíc km!

   Tyč dlouhá 40 000 km. No, přiložíme… koukám…

   hmm..hmmm, nějak to úplně neštimuje,

   no..hmmm…že mi trošinečku tyč seschla ….nebo

   že by se bobek lehce zakutálel… ale ne, další je

   taky stejně posunutý.to je systematicky špatně a

   navíc divné!

 

U: Kozo, tak malá odchylka od normálu….hmmm

   Musíme letět ještě rychleji!

 

P:

     Ufon sehnal hyperloď, vesmírné plavidlo co

dokáže letět 0.8 rychlosti světla, tedy 240 000 km/s.

Vzdálenost mezi startem a cílem je 2 400 000 km.

Měřící tyč, kterou si vezmu, je tedy dlouhá 240 000

kilometrů. Koukám, na trase mezi startem a cílem

je…1,2,3,4,5,…jenom 6 úseků! Tak tohle nemůže

být seschnutím tyče! Vzdálenost bobků je téměř

dvakrát větší než moje tyč, dobrých 400 000

kilometrů… jak je to možné? Hmm, pokus trval

deset sekund…

  Profesore, z mého pohledu jsem se od startu

do cíle dostal za 6 sekund, protože vzdálenost od

startu do cíle jsem naměřil ne 2 400 000 km, nýbrž

jen 1 440 000! Což je v souladu s tím, že koza

utrousila pouze 6 bobků. (Startovací bobek se

nepočítá, ten už tam ležel, když se stopky seply).

 

U:

 

P: Aha, počty bobků v obou soustavách souhlasí.

   Můžeme se tedy aspoň něčeho chytit.

 

U:

   Vysvětlení záhady tkví v tom, že koze vzhledem

k tobě čas ubíhal pomaleji. Jedné její kozí sekundě

odpovídalo 1,66 sekundy tvé pozemské. My jsme

však z lodi viděli, že se zkrátila vzdálenost od startu

do cíle i tvoje měrná tyč.

 

P: Takže já si záhadu vysvětluji dilatací jejího času

   a ty s Kozou si tutéž záhadu vysvětlujete kontrakcí

   vzdáleností a délek. Oba jsme viděli, že koza

   vytrousila po startu 6 bobků. Tedy základní logika

   věci je dodržena. Kozo, nechám tě tam asi lítat, sic

   míň hnojíš, ale zato déle vydržíš!

 

………………..

Při shlédnutí první z následujících animací by se čtenář měl zamyslet nad problematikou měření časů a vzdáleností a nad obtížemi, které musí oba pozorovatelé překonávat.

Kozu s konstantní bobkovací frekvencí?

Koza je vhodné zvíře, protože produkuje tvarově ohraničené a přesné bobky.Pro náš případ není důležité, jakým způsobem bobky padají na zem.

Rozhodující je jejich počet a vzdálenosti mezi nimi. Koza s konstantní bobkovací frekvencí vystupuje v této animaci v roli ideálních hodin, odměřujících přesně čas. Měření je prováděno odečítáním vzdálenosti značek (bobků), které byly vytvořeny s konstantním časovým odstupem 1s (vlastního času kozy).

 

Experiment

Situace je uspořádána tak, že profesor bude měřit vždy vzdálenosti mezi bobky, které koza vytvoří během deseti sekund jejího pohybu, čili (při známé rychlosti pohybu kozy a konstantní bobkovací frekvenci) bude tak vlastně nepřímo měřit čas odpovídající dopadu bobků v jeho vztažné soustavě [14].

 

Start!

Nyní je už možné zahájit vlastní měření. Profesor se nachází v roli pozorovatele ve vztažné soustavě K, pozorovatelem měřícím vlastní čas je pak koza ve vztažné soustavě K´.

Vezmu si měřící tyč, Profesorovo měřidlo má délku d'=V• τ, kde V je rychlost dopravního prostředku s kozou a τ je 1 sekunda. Vzdálenost d' odpovídá vzdálenosti značek v kozině vztažné soustavě K'.

K vizuální stránce animace: Se zvětšující se vzdáleností startu od cíle by se samozřejmě měly v odpovídajícím poměru zmenšovat bobky, profesor,cedule…. Tento fakt byl v animaci záměrně opomenut, protože by důležité značky (bobky) přestaly být vidět.

 

Že by se bobek lehce zakutálel?

Dá se očekávat, že profesor bude při vyšších rychlostech pozorovat dilataci času, která se projeví jako zvětšení vzdáleností mezi jednotlivými značkami oproti délce jeho měřidla

(čas Δt měřený v soustavě spojené se Zemí K je podle ∆t delší než vlastní čas τ, tedy vzdálenost bobků daná vztahem d = V• Δt je větší než délka tyče d').

 

Profesor si tohoto jevu všímá až pro rychlost V= 40 000 000 m/s =0. 13c. Při této rychlosti odpovídá dilataci času o 0.009s změna délky o 9mm na 1m délky. Není divu, že profesor při měřítku délky 40 000 000m

považuje změnu vzdálenosti o 360 000m za chybu měření.

 

Musíme letět ještě rychleji!

Aby byly relativistické efekty výraznější, letí ufon s kozou ještě rychleji, rychlostí V=240 000 000m/s =0. 8c.

 

 

(Profesor pozoruje dilataci času, jedna jeho sekunda odpovídá 1,66násobku

sekundy kozí).

Profesore, z mého pohledu jsem se od startu do cíle dostal za 6 sekund…

Ufon tvrdí, že z jejich hlediska letěli po dobu šesti sekund, než přeletěli dráhu vytyčenou profesorem na desetisekundový přelet. Tomu odpovídá i šest bobků vytroušených kozou. Kde je tedy vysvětlení? [14].

Takže já si záhadu vysvětluji dilatací jejího času…

Profesor pozoruje dilataci času, jedna jeho sekunda odpovídá 1,66násobku

sekundy kozí (koza se proti němu pohybuje rychlostí 0,8c), proto je i jeho měřítko 1,66 násobně kratší. Ufon s kozou pozorují kontrakci délek (profesor se vůči nim také pohybuje rychlostí 0,8c, ale v opačném směru), takže koza trousí bobky po 1,66 násobně kratší dráze.

Tím je situace objasněna k všeobecné spokojenosti [14].

 

 

 

5.1.8. Rozloučení

 

U: Tak, ahooj, pro dnešek ses toho už dozvěděl

  dost!

TV: Model rakety L0 stále nezvěstný. V průběhu

  dnešního dne byly hlášeny pády zvláštních

  nebeských těles. Tvarem a konzistencí

  připomínají kozí trus… což nás staví před

  otázku: Jsou mimozemšťané vegetariáni? Nebo

  jsou snad vegetariáni právě oni a žijí mezi námi?

  Všechny nalezené kusy nebeských těles prosím

  odevzdávejte do sbírek Technického muzea v

  Brně (5. patro, pí. Přikrylová). Děkujeme za

  pozornost. Přejeme příjemný den.

 

-----------------------------------------------

Tato kapitola uzavírá příběh. Divák si na konci „odpočine od fyziky“. Dostáváme se zpět do Profesorova domu a s pocitem že, „víme víc“ než paní moderátorka v televizi, se klidně můžeme vrátit zpět do „normálního“ života.

 

 

 

5.2. PARADOX DVOJČAT

 

Tato část práce ilustruje známý paradox dvojčat. Je volným pokračováním relativistických dobrodružství Profesora a Ufona. Vypráví o dvojčatech, která vyrůstala v různém prostředí (jedno s Profesorem na Zemi, druhé s Ufonem ve vesmírné lodi pohybující se rychlostí 0.8c). Pozorujeme rozdíly v deníkových záznamech o vývinu dětí a staneme se svědky jejich setkání.

Animace též poukazuje na problémy při předávání aktuálních informací mezi Ufonem a Profesorem a navrhuje jejich řešení. Velkými písmeny jsou v komentáři označeny postavy, které v příběhu vystupují: V (Vypravěč),

P (Profesor), U (Ufon), dvojčata M (Modrý) a Z (Zelený).

 

Paradox dvojčat

Život má pravidelný rytmus, takže se naše biologické hodiny musí chovat jako jakékoliv jiné hodiny, které se pohybují vzhledem k pozorovateli. Puls a tikot těchto hodin funguje na stejném principu. Zpomalení pohybujících se hodin proto znamená i zpomalení života kosmonauta v letící raketě vzhledem k životům jeho pozorovatelů na Zemi.

 

Sledujme tento příběh. Jedno z novorozených dvojčat - Zelený odlétá s Ufonem na misi ke vzdálené planetě rychlostí 0.8c. Život Zeleného ubíhá vzhledem k životu jeho bratra Modrého, který zůstává s Profesorem na Zemi

 

Na první pohled je tento výsledek zvláštní. Podívejme se na stejnou situaci ještě z pohledu Zeleného v raketě. Modrý na Zemi se z jejího pohledu pohyboval stejnou rychlostí vůči ní, 0.8 c. Dle stejného postupu by měl být Modrý na Zemi po jejím návratu mladší - slavný paradox dvojčat.

Ale tento dvojí pohled není ve skutečnosti tak lehce zaměnitelný. Modrého raketa byla při otáčce zpět k Zem urychlena a při přistávání se zase zpomalovala. Naproti tomu Modrý na Zemi zůstal v inerciální vztažné soustavě po celou dobu jejího letu. Podle teorie relativity tedy není symetrie mezi volbou Modrého nebo Zeleného vztažné soustavy. Odlišné stárnutí dvojčat je potvrzeno i experimenty prováděnými s velmi přesnými a konstrukčně identickými hodinami, které byly brány na vesmírné lety [14].

 

Rozhovor

V:

 

P:

  Profesor a Ufon našli v lese dva odložené

novorozence. Dvojčata. Každý se ujal jednoho.

 Rovnou je přeměřím. 50 cm, jeden jako druhý.

Nepochybně to jsou dvojčata a oba chlapci.

 

P:

 

U:

   Vezmu si na starost tohoto Modrého

a vychovám ho tady na Zemi.

Já si do vesmíru vezmu jeho zelené dvojče!

 

P:

A dobře se starej o Zeleného!

 

U:

  Neměj starost, mám dost končetin pro řízení

lodi i pěstounskou péči zároveň!

 

U:

  Poletím lodí rychlostí 0.8 C na svou vzdálenou

planetu a pak se vrátím i se Zeleným zpět na

Zemi.

 

P:

   Tak leť, ale nezapomeň mi hlásit jak Zelený

roste!

 

U:

   No, to bych sice mohl, ale než by ta zpráva

k tobě doletěla, byli bychom už zase o hodně

starší! Musíme to udělat jinak.

 

U:

   Vydláždíme moji cestu synchronizovanými

hodinami s pozemským časem tak, že každý

pozemský rok potkám jedny hodiny a do

schránky u nich vložím zprávu. Současně i ty,

Profesore, budeš každý rok zaznamenávat

zprávy. Navíc pověříš svoji turbosekretářku

létající turboraketou, aby moje zprávy těsně před

mým návratem vybrala a až přiletím vše

porovnáme.

  V důsledku toho, že se Zelený pohybuje

obrovskou a konstantní rychlostí 0.8C, jeho čas

plyne vzhledem k Modrému, který žije na Zemi,

pomaleji.

V:

 

V: Zelený sám však nic podivného nepociťuje.

 

V:

 Po dlouhé době máme zprávy od Ufona a

Profesora k dispozici. Vyberme z nich to

nejzajímavější:

 

U:

    Zelený má 7 měsíců, jen řve, spí pije mléko,

  které musím pracně filtrovat při průletu mléčnou

  dráhou. Taky se Zeleného snažím naučit říkat

  „Ufon“.

 

P: Modrému je 1 rok, hryže ohrádku, leze po

  čtyřech a někdy se viklá i na dvou. Koupil jsem

  mu botičky.

 

U:

     Zelenému jsou právě 3 roky. Motá se mi do

   řízení, neustále mačká červené čudly, zuří a

   všechno ničí.Ušil jsem mu ze své přebytečné

   kůže hračku, tak je teď chvilku hodný.

 

P: Modrý má 5 let, za nic na světě nechtěl chodit

   do školky. Koupil jsem mu tříkolku a od té doby

   do školky nechodí, ale jezdí. Používá kolem 2500

   slov a učí se i nová, sprostá.

    Zelený má 6 let. U vás by byl žákem 1. třídy.

  Tak ho alespoň učím číst souhvězdí a počítat

  vypadené zuby. V noci fňuká, protože se mu

  prořezávají trvalé.

 

P: Modrý má 10 roků, chodí do 4.třídy a umí

  všechny vyjmenovaná slova. Tříkolku vyměnil za

  kolo a zjistil že v čepici se štítkem dozadu vypadá

  rozhodně lépe.

 

U:

 

U: Zelenému je 9 let. Vyřezal jsem z kusu izolace

   rakety figurky a hrajeme spolu šachy. Začíná už

   dost přemýšlet o vesmíru, jen nechápe, proč já

   jsem zelenej a on růžovej. Nevydržel jsem to a

   prozradil mu, že má bratra. Přiletíme na Zem

   oslavit jeho 12. narozeniny.

 

P: Modrým cloumá puberta. Má 15 let. Kolo už ho

   nebaví, se mnou se vůbec nebaví a nechce se

   nechat ani změřit a zvážit!

 

P: Vylez z toho motoru, přiletěl tvůj bratr!

 

Z: Dobrý den.

 

M: Auu. Ahoj.

Všichni: Živijó, živijó, živijó, živijó

 

M: Opravil jsem káru, takže po oslavě můžeme jet

  na dízu, zatrsat si s babamachápeš..

 

Z: …a nepůjdem radši do ZOO?

 

U: Hmm, tak tohle setkání se moc nevydařilo,

   musíme napravit co jsme provedli! Takže,

   navrhuji Výměnu!

 

P: Dobrý nápad. Zelený, ty zůstaneš stárnout se

   mnou na Zemi a Modrého pošleme s Ufonem

   do vesmíru!

 

U:

  Poletím lodí rychlostí 0.8 C na svou vzdálenou

planetu a pak se vrátím i se Zeleným zpět na

Zemi.

Odlétá raketa.

Hodiny.

Přilétá raketa.

 

M+Z: Konečně jsme sjednotili své zájmy!

 

……………………………..

Vydláždíme moji cestu synchronizovanými hodinami…

Jak časově zajistit, aby se zprávy Profesora a Ufona mohly srovnat? Víme již,že Profesor pozoruje dilataci Ufonova roku a tedy mu nemůže říct „každý rok zaznamenej zprávu.“

Při rychlosti 0.8c bude muset Ufon zprávy zaznamenávat 1.66 krát častěji než Profesor. Aby měl Ufon při své cestě raketou přehled o tom, jak plyne čase na Zemi, vydláždila se jeho cesta hodinami synchronizovanými s pozemským časem tak, aby každý pozemský rok potkal jedny hodiny a do schránky vedle nich vložil čerstvě natočený záznam.

 

Pověříš svoji turbosekretářku

Prakticky by Profesor turbosekretářku ani zaměstnávat nemusel. Ufon by si pouze při každém minutí hodin zaznamenal zprávu do deníčku a popsal příslušným rokem odpovídajícím Profesorovu. Turbosekretářka, která se pohybuje ještě vyšší rychlostí než Ufon v raketě, byla vymyšlena proto, aby byl způsob časové synchronizace Ufonovových zpráv s Profesorovými zřetelnější a aby měl Profesor záznamy k dispozici o chvíli dříve, než Ufon přiletí.

 

Po dlouhé době máme zprávy od Ufona a Profesora k dispozici.

Zprávy zaznamenané v pozemském čase tak, jak Ufon míjel hodiny, ukazují stádium vývoje Modrého dítěte na Zemi v levé polovině obrazovky a současně stádium vývoje Zeleného v raketě. Čas na hodinách ukazuje roky uplynulé v každé ze soustav.

Ufon a Profesor jsou nesmrtelní a nestárnou, protože jsou hlavními hrdiny.

Na jejich svraštělé tváře by se v příštích dílech již nikdo nechtěl dívat. Věk Zeleného 0.6 let = 7.2 měsíců je v animaci zaokrouhlen na celých 7 měsíců.

 

Zde je Profesorova tabulka, srovnávající plynutí času v raketě pohybující se

rychlostí 0.8c s jeho časem na Zemi.

 

Přiletíme na Zem oslavit jeho 12. narozeniny.

Dvojčata se znovu setkají. To znamená, že Zelené dvojče v raketě se muselo po nějakou dobu pohybovat neinerciálně. Raketa byla v jistém okamžiku zabržděna a urychlena v opačném směru. Doba nerovnoměrnosti pohybu může být ovšem volena tak, že ji lze zanedbat oproti době, po niž se raketa pohybovala rovnoměrně.

Dilatační vztah, uvedený výše je odvozený pouze pro časové intervaly v inerciálních systémech. Na systém spojený s raketou, který po celou uvažovanou dobu inerciální není, nelze aplikovat. Pro tuto chvíli se spokojíme s popisem situace z hlediska Profesora, pozorovatele na Zemi [14].

 

Tohle setkání se moc nevydařilo, Zájmy 12ti letého chlapce jsou zcela jiné než dvacetiletého. Aby sourozence znovu zdvojčatovitěli (vyrovnali své věky) uspořádal Profesor s Ufonem

symetrickou situaci - výměnu. Tak jako si Zelený prožil svých 12 let v raketě pohybující se rychlostí 0.8c, tak si stejnou dobu v raketě prožije i modrý.

Konečně jsme sjednotili své zájmy! Příběh končí opětovným, ale tentokrát šťastným setkáním dvojčat. Oba bratři mají 32 let a baví se stejným způsobem.

 

 

 

5.3. SOUVISLOST PARADOXU DVOJČAT A   DOPPLEROVA JEVU.

Existuje i málo známý, ale podle našeho názoru velmi přesvědčivý výklad paradoxu hodin založený na využití Dopplerova jevu. Vznik časového rozdílu mezi pozemšťanem a kosmonautem můžeme sledovat přímo na obrazovce,  kde je ukázáno, jak probíhá děj v pozemšťanově soustavě, v níž údaj kosmonautových hodin podléhá dilataci, jež se projevuje méně častým vysíláním vlnoploch. Nás však bude především zajímat, co oba přímo vidí,  pozorují-li svého kolegu.

 

Interaktivní aplet - Souvislost paradoxu dvojčat a Dopplerova jevu

Při vhodně nastavené rychlosti si můžeme sledováním vlnoploch přímo napočítat, že pozorování jsou symetrická - každému se zdá, že při vzdalování kolega stárne pomaleji podle stejného vztahu, a to v důsledku relativistického Dopplerova jevu, který zahrnuje nejen dilataci času, ale i přímý vliv vzdalování. Je to právě dilatace času, která jev symetrizuje. Obdobně je tomu při přibližování, kdy však „obyčejná“ složka Dopplerova jevu převáží nad dilatací a každý proto vidí kolegu stárnout rychleji.

Odkud se potom bere asymetrie výsledku srovnání údajů hodin po kosmonautově návratu, jak nám ji sděluje počítadlo průchodů vlnoploch?

Není těžké na to odpovědět. Pro kosmonauta dochází ke změně pozorované

frekvence v polovině jeho cesty, když obrátí směr pohybu své rakety. Naproti tomu pro pozemšťana je doba nižší frekvence signálů od kosmonauta delší než doba pozorování vyšší frekvence signálů, a to tím více, čím více se blíží kosmonautova rychlost rychlosti světla. Pohybuje-li se kosmonaut téměř světelnou rychlostí, uvidí ho pozemšťan zapínat motory a obracet tak směr letu až ve chvíli, kdy už je kosmonaut skoro doma

 

Předpokládejme, že pozemšťan vyšle každý rok signál ve svém čase – hnědé vlnoplochy (na monitoru modré) a kosmonaut taktéž ve svém čase fialové vlnoplochy (na monitoru zelené). V důsledku dilatace času, která nezávisí na směru rychlosti rakety, kosmonaut vysílá signály méně často a pozemšťan napočítá při setkání méně přijatých signálů od kosmonauta než sám vyslal.

Poměr počtu pozemšťanem vyslaných a pozemšťanem přijatých vlnoploch udává poměr zestárnutí pozemšťana a kosmonauta. Nerelativistický Dopplerův jev závisí na směru pohybu, a tedy způsobuje prodloužení časové periody mezi signály přicházejícími k pozemšťanovi při kosmonautově cestě od něj a zkrácení časové periody mezi signály těsně před návratem kosmonauta. Kolik vlnoploch jeden pošle druhému, tolik i druhý do návratu přijme.

;

 

Pokud počítáme Dopplerův jev relativisticky, musíme uvažovat, že pozorovatel, vůči němuž se zdroj zvuku pozoruje, vnímá dilataci periody vlnění, určenou vztahem

 

(pokud se pohybuje pozorovatel vůči zdroji, dochází k dilataci pro zdroj).

Protože frekvence je převrácenou hodnotou periody, musí se při prodlužování periody frekvence zmenšovat, a to podle vztahu

kde V je rychlost pohybu zdroje (pozorovatele) a f 0 frekvence vlnění v jeho

vlastní vztažné soustavě. V souladu s touto úvahou musíme v rámci relativistické mechaniky upravit vztahy pro klasický Dopplerův jev: