Časopis Komenský

 

Co je to vlastně matematika a proč se má ve škole vyučovat?

            Matematika je nerozlučně spjata s vývojem člověka, od počátku lidské kultury jsou součástí jazyka člověka i matematické pojmy typu jeden, dva, několik, mnoho, málo, od počátku je život člověka spjat s geometrickými realitami typu uvnitř, vně, přímo, daleko. Tyto jevy jsou nástroji porozumění člověka světu. Od nich je ovšem daleko k „sofistikované“ matematice současné produkce, jíž rozumějí jen specialisté. Z druhé strany na matematice je historicky budována přírodověda i technika, matematika proniká i do věd společenských. Tvoření pojmů, nezbytný nástroj orientace člověka ve světě, má charakter abstrakcí takřka matematického typu, bez matematiky si nedovedeme představit ani každodenní život současného člověka. Učí-li se dítě chápat matematické vztahy, kultivuje sebe sama, učí se myslet. Jak je přesto možné, že část populace se k takto užitečnému nástroji staví negativně? K této otázce se vrátíme.

            Ačkoli ani pro bádání profesionálního matematika, ani pro vyučování není explicitní odpověď na otázku Co je to matematika nutná, položila si ji řada autorů. Připomeňme si některé odpovědi. Logickou stránku matematiky zdůrazňuje formulace: Matematika je deduktivní systém axiomů, definic, vět a jejich důkazů. Autoři zaměření na aplikace ztotožňují matematiku s řešením problémů.

            Petr Vopěnka[1], náš nedávno zesnulý významný matematik, charakterizoval matematiku jako metodu předpovídání pomocí formálních kalkulů. Školskou matematiku bychom mohli chápat jako řešení úloh výpočty (tedy formálními kalkuly). Deskriptivní geometrii a část geometrie můžeme vymezit v souladu s Vopěnkou jako řešení úloh rýsováním.

Souhlasím s Václavem Jamkem[2], že škola není místo, kde by dítě mělo získat co nejvíce vědomostí a přitom se – pokud možno – nenamáhat. Koncept škola hrou spíše žádá, aby škola využívala spontánní objevovací schopnosti dítěte, a tak je k námaze motivovala, ne však, aby je veškeré námahy ušetřila. Škola bez námahy a píle není žádoucí: především ve škole si dítě může vštípit základní kulturu úsilí, která je v naší civilizaci potřebná. Požadovat výkon – a to výkon smysluplný – je jednou ze základních funkcí školy.

Eduard Čech[3], snad náš největší matematik dvacátého století, uvádí, že bychom měli odstraňovat strach před matematikou a učit lásce k matematice. Ovšem ne tím, že bychom z ní udělali předmět lehký. Matematika byla, je a zůstane předmětem těžkým. Láska k matematice je podstatnou částí lásky k práci. Bílá kniha, základní dokument naší současné reformy, zná bohužel práci pouze v její fyzické podobě, jako je třeba práce v dílnách.

            Protože nepoznáme v první třídě, ba někdy ani před maturitou, zda z dívky bude baletka nebo atomová fyzička, zda z hocha bude inženýr nebo hokejista, musí se všechny děti učit na základní škole matematice. Společnost usiluje o to, aby všechny děti byly připraveny pro život, tedy k pozdějšímu vzdělávání, praktickému nebo teoretickému. To je ovšem jen jeden pohled. Druhý souvisí s významem matematiky pro rozvoj dítěte. Dobrý učitel dokáže učit matematiku tak, že rozvíjí pozornost, vnímání a paměť žáků. Dnes se někdy říká, že v době, kdy si můžeme informace o všem najít na počítači, význam paměti klesá. To je vážný omyl. Podle psychologů je učení ve své podstatě paměťový pochod. Člověk je do určité míry určen tím, co má ve své paměti k dispozici. Paměť zakládá možnost řeči, způsob smysluplného vnímání, ba dokonce i porozumění, které je základním rysem dobrého matematického vzdělávání. Porozumění znamená totiž propojení paměti se schopností vhledu. Ovšem učení orientované na paměť bez porozumění, tedy biflování, je velkým nebezpečím našeho školství. Dobré vyučování matematice kultivuje myšlení žáka, učí ho vidět souvislosti a řešit problémy, rozvíjí jeho představivost. Zde zdůrazňuji dobré vyučování. Ne každé vyučování matematice rozvíjí myšlení. Hodiny matematiky mohou i myšlení ubíjet tím, že učitel přistupuje k učení formálně, uvádí poznatky a vyžaduje jejich reprodukci.

 

Jak došlo k vaší spolupráci s prof. Milanem Hejným a co pro vás znamená?

            Milan Hejný[4] nastoupil ke studiu na Matematicko-fyzikální fakultu Karlovy univerzity v roce 1955, kdy já jsem toto studium ukončil. Míjeli jsme se celých dvacet let. V sedmdesátých letech jsme navázali z podnětu publikovaných článků nejdříve písemný, a pak i osobní kontakt. Podle možností jsem jezdil na Slovensko, na semináře a letní školy, jejichž duší byl profesor Hejný. Byly to mé didaktické univerzity. Tam jsem poznal souznění našich didaktických názorů, tam se rodily naše vzájemné sympatie. Jejich výrazem byly společné publikace, z nichž nejvýznamnější je patrně kniha Dítě, škola a matematika. Ne ve všem byly ovšem naše didaktické názory totožné. To se projevilo např. zařazením 11. kapitoly, kterou jsme nazvali Komentář Františka Kuřiny po deseti letech, ve třetím vydání Dítěte.

Od Milana Hejného jsem se mnohé naučil. Rád bych se mu přiblížil např. v orientaci didaktiky na práci s žáky, mnoho jeho myšlenek bylo pro mne inspirativních. Obdivuji jeho schopnost vypěstovat si tým tvořivých spolupracovníků i dynamičnost jeho názorového vývoje, který dokládá jeho cesta od teorie didaktického konstruktivismu, vyučování orientovaného na budování schémat až k vytvoření uceleného systému Hejného metody. Oceňuji i kouzlo jeho osobnosti.

 

Je podle vás Hejného matematika novou metodou či novým pojmem v didaktice matematiky?

            V roce 1902 se narodil nedaleko Litovle Jan Čep[5], v roce 1904 se narodil v Litovli Vít Hejný. Oba maturovali na témže gymnáziu, Čep se stal spisovatelem, Hejný učitelem a otcem Milana Hejného. Co mají tyto dvě osobnosti společného?

            Jan Čep píše o svém díle. Slovesná tvorba představuje jistý druh poznání. Toto poznání se liší od poznávání vědeckého a filozofického tím, že je ho účasten celý člověk, s duší i tělem, se svým životem intelektuálním, morálním, citovým i smyslovým. Domnívám se, že poznávání matematiky v pojetí profesora Hejného je téhož druhu. Jeho matematiku poznává celý žák, duší i tělem, svým životem intelektuálním, morálním, citovým i smyslovým. Zázrak Hejného metody spočívá v tom, že každý žák je takového poznávání schopen. Není pochyby o tom, že ne každý učitel či učitelka může vhodné prostředí pro Hejného metodu realizovat (a Hejný to explicitně uvádí). Podle mého názoru však nelze ve zmíněném smyslu naladit na objevování matematiky každého žáka, každé třídy a každé školy. Existují žáci, které v důsledku svých genetických předpokladů, rodinné výchovy a společenských vlivů lze sotva dovést ke globálnímu poznání celé matematiky Hejného metodou. V tom se především odlišuje můj názor od názoru Hejného.

Ovšem Hejného učebnice matematiky jsou učebnicemi nové generace. Tyto učebnice představují především systém podnětů, otázek a problémů pro žáka. Výklad učiva v tradičním smyslu v nich zcela chybí. Neobsahují transfer učiva, který je běžný v tradičních učebnicích. Hejného metoda je novým pojmem v didaktice matematiky.

 

Co si myslíte o podobě matematiky v současné škole?

            Matematiku v naší současné škole můžeme hodnotit podle kurikulárních dokumentů, učebnic nebo skutečného vyučování. Bílá kniha a rámcové vzdělávací programy přesunuly velkou část práce na učitele. Ti mnohdy považují tvorbu školních vzdělávacích programů za administrativní zatížení, které nevede k vyšší úrovni vyučování. Učebnic matematiky pro základní školu je tak velké množství, že by jejich rozbor vydal na obsáhlou studii. Jana Straková[6] napsala nedávno, že u nás jsou „školy dobré“ a „školy zbytkové“. S tím nemohu souhlasit. Jsou učitelé dobří a učitelé méně dobří. Obojí utvářejí podobu matematiky v naší škole. Nemohu hodnotit naši školu v celé šíři, nemám pro to dostatek podkladů, nemohu hodnotit ani různé alternativní způsoby vyučování. Poctiví učitelé, kteří chtějí dobře připravit všechny žáky na budoucí vzdělávání, se vzhledem k požadovanému rozsahu učiva uchylují dosti často k instruktivním a transmisivním metodám. Vyučování pak nemá charakter přirozeného poznávacího procesu, ale stává se pouhým předáváním poznatků. To vede k formalismům ve vyučování, k učení bez porozumění, k biflování. Je to podle mého názoru příčina poměrně nízké úrovně výsledků matematického vzdělávání u nás.

 

Kam by podle vás měla směřovat výuka matematiky?

            Měla by dovést všechny žáky na úroveň matematické gramotnosti potřebné pro život a další studium. Měla by rozvinout matematickou kulturu nadaných žáků k prvním krokům tvořivosti. Měla by pěstovat důležité psychické funkce, jako je paměť, vnímání, soustředění, myšlení a podobně. Měla by kultivovat důležité společenské funkce, mezi něž patří odpovědnost, pracovitost, vytrvalost či kritičnost. Z tohoto výčtu je zřejmé, že těchto cílů nedosáhneme žádnou školskou reformou, ale jedině poctivou prací dobrých učitelů. Je to obtížný, dlouhodobý úkol, jehož postupné dosahování bych si na závěr své pedagogické činnosti přál.

 

Jaký máte pohled na úroveň výuky geometrie na základní škole dnes?

            Geometrie je již svým historickým vývojem specifickou disciplínou. Zatížena eukleidovským[7] tíhnutím k logicky uspořádanému systému, množstvím pojmů a různorodými úlohami, se jeví jako obtížná složka výuky. Podle mého názoru je jedním z důvodů nízké úrovně dosahovaných výsledků i běžný tradiční přístup. Proto jsem před několika léty navrhl tzv. didaktickou strukturu geometrie, která umožňuje nahradit logický přístup přístupem psychologickým. Základem didaktické struktury geometrie je dělení prostoru, vyplňování prostoru, pohyb v prostoru a dimenze prostoru. Toto pojetí jsem realizoval v několika učebnicích vydávaných matematickým ústavem Akademie věd České republiky a nakladatelstvím Prometheus. Někteří učitelé chápou geometrii nesprávně jako rýsování. Celou výukou geometrie se táhne problematika velikostí geometrických útvarů, které je věnována někdy malá péče. Je to důležitá oblast sepětí matematiky s fyzikou.

 

Jak pracovat se žáky, kteří, jak se říká, nemají pro matematiku nadání?

            Petr Vopěnka před několika léty vystihl problematiku matematického vzdělání následujícím tvrzením: „Není utěšenějšího povolání nad učení dětí, které se učit chtějí, a není odpornějšího poslání nad učení dětí, které se učit nechtějí.“ Pracovat se žáky, kteří nemají pro matematiku nadání, dovede snad každý dobrý učitel. Stačí, má-li k tomu vhodné podmínky (dostatek času, málo žáků ve třídě, vhodné pomůcky…). Je ovšem třeba, aby i tito žáci byli motivováni úspěchy při řešení vhodných úloh a nebyli nuceni do učiva, na něž intelektuálně nestačí. Problémem jsou žáci, kteří se nechtějí učit nic, a tedy ani matematiku, a navíc nemají pro matematiku nadání. Takoví žáci jsou patrně v každé třídě. Umění učitelské spočívá v realizaci vnitřní diferenciace výuky. Redukovat učivo pro slabé např. na 40 % současného stavu, jak navrhuje Jana Straková, nepovažuji za vhodné.

Snad nejdůležitějším faktorem, který ovlivňuje výsledky vzdělávání je rodina a společnost. Nemám k dispozici žádnou studii o naší společnosti, připomenu však šetření, které provedl v USA Paul Ray[8]. Podle něho je americká společnost složeno ze 47 % z lidí, pro něž je prioritní snadný a rychlý úspěch, z 24 % z tvořivých lidí, kteří se snaží porozumět souvislostem, a z 29 % lidí, kteří lpějí na tradicích a o pokrok nejeví zájem. Je samozřejmé, že prvních šest let života v rodině nemůže nemít vliv na postoj dítěte ke vzdělání. Jeden z našich zkušených učitelů matematiky popsal realitu svých tříd takto: 40 % dětí usiluje o dobré známky bez velké námahy. Orientuje se na paměť (jsou prý to především děvčata), 30 % žáků chce porozumět souvislostem, jsou to žáci přemýšliví, kteří chtějí dosáhnout úspěchu prací. 30 % žáků nemá zájem o nic, nevadí jim ani špatné známky. Co motivuje k práci žáka, když ví, že se na nějakou vysokou školu určitě dostane a bakalářskou či magisterskou práci si může koupit u několika firem? I to je realita naší školy.

 

Co by bylo potřeba změnit ve výuce matematiky?

            Změnit by bylo potřeba mnohé, co je nezměnitelné. Např. vytvořit učitelům lepší podmínky pro jejich práci, aby se mohli dále vzdělávat, aby nežili ve stresu, ale v klidném prostředí svých sboroven řešili v pracovních kolektivech aktuální problémy výchovné i vzdělávací. Zlepšit přístup rodičovské veřejnosti ke škole a k matematice. Politická reprezentace by měla oceňovat práci učitelů nejen slovně, ale i materiálně. Co můžeme měnit, i když třeba v delším časovém horizontu? Můžeme se snažit odstraňovat formalismus ve vyučování matematice. Jeden čtenář naší knihy Dítě, škola a matematika nám napsal: Píšete o formalismu příliš jemně. Kdyby se na formalismus umíralo, maturity by se dožil jen nepatrný zlomek žáků. Mělo by se zrušit plošné testování žáků. O úrovni výuky se lze přesvědčit na základě statistických metod testováním výběrovým. Učit žáky přípravu na testy vzdělávání spíš škodí, než prospívá. Vytvářet podmínky pro účinnou diferenciaci žáků ve třídách. Omezit množství víceletých gymnázií, která by se měla stát školami pro skutečné nadané. Snažit se o psychologický přístup k výuce, který přispívá ke kladné motivaci žáků. Současný převážně logický přístup mnohé žáky odrazuje. Zavést osnovy povinné pro všechny žáky, ale k žákům méně schopným přistupovat diferencovaně. To znamená kvalitativní redukci učiva, nikoli kvantitativní redukci např. na 40 %, jak navrhuje Straková. Věnovat větší péči matematickému řemeslu, a to jak v aritmetice, tak i v geometrii. Posílit geometrickou složku vzdělání, zejména vizualizací pojmů, postupů i řešení úloh.

 

Co by měli žáci z matematiky podle vás znát po absolvování základní školy?

Za postačující a dosti podrobnou odpověď na tuto otázku považuji práci Standardy a testové úlohy z matematiky pro základní školy a nižší ročníky víceletých gymnázií (Fuchs, Hrubý et al., 2000).

Jak kvalitně jsou podle vás v České republice připravováni učitelé matematiky?

            Mohu si vážit ocenění studentky, která mi napsala: „Vaše přednášky se mi líbyli.“? Když jsem četl u Korthagena[9] myšlenku, že to, co se žák nenaučí na základní škole, nenaučí se ani na škole střední, a to, co se nenaučí na škole střední, nenaučí se ani na univerzitě, připadala mi absurdní. Věta citovaná před chvílí však dává Korthagenovi za pravdu, neboť již na základní škole by měla žákyně umět větu správně napsat. O těchto chybách ji nepoučila ani škola střední. Větu napsala studentka matematiky po ukončení bakalářského studia a po prvním roce studia magisterského. Univerzita ji už v pravopise nevzdělá. Proč to připomínám? Na učitelské studium přijímáme i čtyřkaře a podle mého názoru je nemožné všechny studenty připravit kvalitně.

 Podobné nedostatky, které jsem uvedl ze znalosti pravopisu, mohu doložit i z matematiky. Existují studenti, kteří neznají vzorce pro , jedna studentka se mi svěřila, že se nikdy nedověděla o jeho snadné odvoditelnosti. Na základní škole prý jim učitelka vzorec řekla jako fakt k zapamatování. Tím chci upozornit, že dobrý učitel není prioritně vychováván předmětem didaktika; učitelské umění se utváří v průběhu celého jeho studia. Jak se sám učil, tak bude učit své žáky. To je opět Korthagen. Významnou roli v učitelském vzdělávání hrají tedy i metody přednášek všech předmětů, nejen matematických.

Jeden vysokoškolský učitel se mi bez uzardění svěřil: „Přednáším pro tři studenty v posluchárně, ti mému výkladu rozumějí, s těmi spolupracuji.“ Na mou otázku: „A co ostatní?“ odpověděl: „Ti se to naučí.“ Patrně bez porozumění, tedy nazpaměť. Student, který zná definice, věty, ideje důkazů a řešení typických úloh patrně je v mnoha případech úspěšný. Jeden posluchač se mi chlubil, že bude učit moderně. Učivo najde na internetu, promítne žákům a bude zkoušet. Tento student si myslí, že nemusí matematiku umět, nemusí umět ani pravopis, ba ani čitelně psát na tabuli.

Po absolvování matematicko-fyzikální fakulty jsem odcházel do učitelské praxe s přesvědčením, že nejdůležitější, ne-li jediný, úkol učitele je srozumitelně vyložit učivo. Dnes vím, že i na univerzitě je nutno postupovat jinak. Systém definice, věta, důkaz, úloha, běžný na vysoké škole, se někdy mladý učitel snaží aplikovat v příslušné modifikaci i na škole střední nebo základní. Po letech praxe jsem přesvědčen, že i v univerzitním vzdělávání je důležitá motivace a řešení problémů disciplíny. Ne učit definice, ale učit, jak definovat pojmy, ne učit věty, ale učit řešit problémy, ne předvádět důkazy, ale učit dokazovat. Každý student přirozeně musí přitom mít svou učebnici, v níž najde potřebné informace. V praxi se mi takovýto způsob výuky velmi osvědčil. Kterého učitele by nepotěšilo hodnocení následujícího typu: „S potěšením si dovolím říci, že by bylo přínosné, pokud by studenti mohli navštěvovat více takových přednášek, kdy jsou vtaženi do děje, což nebývá v matematice často. Nemám ráda hodiny, v nichž jsme pouze poučováni a pro naše myšlení a úsudek bývá málo prostoru a času.“ Jsem přesvědčen, že příprava učitelů matematiky trpí malým zřetelem k jejich budoucí praxi.

Děkujeme za rozhovor.

 

Literatura

Jamek,V. (1998). O patřičnosti v jazyce. Praha: Nakladatelství Franze Kafky.

Hejný, M. & Kuřina, F. (2009). Dítě, škola matematika. Praha: Portál.

Hejný, M. et al. (2009). Matematika pro první ročník základní školy. Plzeň: Fraus.

Kotásek, J. et al. (2001). Národní program vzdělávání v České republice. Bílá kniha. Praha: MŠMT.

Korthagen F. et al. (2011). Jak spojit praxi s teorií: didaktika realistického vzdělávání učitelů. Brno: Paido.

Kratochvíl, Z. (1995). Výchova, zřejmost, vědomí. Praha: Hermann a synové.

Kuřina, F. (1995). Didactical structure of geometry. In ICMI Study: Perspectives of geometry for 21st century. Catania: University of Catania.

Kvačková,R. (2017). Řekněme přesněji co učit. Rozhovor s Janou Strakovou. Praha: Lidové noviny, 25. 4. 2017.

Vopěnka, P. (1971). Poznámky o současné matematice. Filosofický časopis.XIX,731–753.

 

Prof. RNDr. František Kuřina, CSc. (1932) po maturitě na gymnáziu v Prachaticích studoval učitelství oborů matematika a deskriptivní geometrie na Matematicko-fyzikální fakultě UK v Praze (1955). Pak pracoval jako učitel na středních školách v Českém Krumlově a v Dobrušce. V roce 1960 byl přijat na místo odborného asistenta na Pedagogický institut v Hradci Králové, zárodek současné univerzity. Zde se věnoval především vyučování geometrii, spolupracoval s řadou učitelů základních a středních škol, s Kabinetem pro vyučování matematice Matematického ústavu Akademie věd ČR a s některými univerzitami u nás i v zahraničí. Promýšlel a publikoval práce z didaktiky matematiky a účastnil se aktivně mnoha konferencí. Vypracoval koncepci didaktické struktury geometrie a zabýval se problematikou „umění vidět v matematice“. V posledních letech vydal knihy Podivuhodný svět elementární matematiky (spoluautor Zdeněk Půlpán), třetí vydání knihy Dítě, škola a matematika (spoluautor Milan Hejný), Elementární matematika a kultura a Matematika jako pedagogický problém.

 kurinovi@gmail.com

 

 

[1]Petr Vopěnka (1935–2015), profesor matematiky na Matematicko-fyzikální fakultě UK v Praze, filozof a bývalý ministr školství. Je zakladatelem alternativní teorie množin. Vydal monumentální knihy Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci, Podivuhodný svět českého baroka, Vyprávění o kráse novobarokní matematiky a Nová infinitní matematika. Vopěnka v celém svém životě hledal pravdu a stál za ní i navzdory různým překážkám a nepřízním osudu. V době totality nesměl veřejně přednášet, ale organizoval nezávislý seminář.

[2] Václav Jamek (1949), docent francouzské literatury na Filozofické fakultě UK v Praze, spisovatel, publicista a překladatel. Byl redaktorem Odeonu a kulturním radou v Paříži. Z jeho děl připomeňme soubory esejů O patřičnosti v jazyce a Na onom světě se tomu budu smát. Ve Francii byl jmenován důstojníkem Řádu umění a humanitních věd.

[3] Eduard Čech (1983–1960), akademik a profesor matematiky na Matematicko-fyzikální fakultě UK v Praze. Jeho práce v topologii tvoří základ tohoto oboru. Zabýval se diferenciální geometrií a funkcionální analýzou, ale i otázkami matematického vzdělávání. Napsal řadu netradičních učebnic matematiky pro žáky základní a střední školy.

[4]Milan Hejný (1935), profesor matematiky a didaktiky matematiky na Pedagogické fakultě UK v Praze. Je autorem tzv. Hejného metody vyučování matematice na základní škole a řady knih, článků a přednášek na mnoha českých i zahraničních konferencích. Byl hostujícím profesorem na univerzitách v Kanadě a v USA. Jeho práce byla oceněna např. nejvyšším vyznamenáním MŠMT ČR za dlouholetou vynikající pedagogickou činnost a titulem MathProfONE.

[5]Jan Čep (1902–1974), spisovatel, esejista a překladatel. Je autorem mnoha povídek, jeho tvorbu ovlivnily hluboké rodové kořeny a prožívání katolického křesťanství. Po roce 1948 opustil republiku a žil v Mnichově jako komentátor Svobodné Evropy, nakonec se jeho domovem stala Francie.

[6]Jana Straková, docentka pedagogiky Pedagogické fakulty UK v Praze. Po odborném fyzikálním studiu pracovala jako učitelka na gymnáziu, šéfredaktorka časopisu Moderní vyučování a expertka v Ústavu výzkumu a rozvoje vzdělávání.

[7]Eukleides z Alexandrie (325–260 př. Kr.), řecký matematik. Jeho nejdůležitější dílo Základy obsahuje deduktivním způsobem zpracovanou elementární geometrii. Česky vyšly Základy v roce 1907, nově pak

s komentářem P. Vopěnky v letech 2007–2011.

[8]Paul Henry Ray (1939), americký sociolog, který analyzoval společnost v USA a formuloval pojem culture creativists jako vrstvu společnosti, která se ve Spojených státech rozvíjí kolem roku 1985.

[9] Fred Korthagen (1949), emeritní profesor univerzity v Utrechtu. Vypracoval ucelenou koncepci učitelského vzdělávání. Jeho kniha Jak spojit praxi s teorií: didaktika realistického vzdělávání učitelů vyšla i česky.